rach-rozn-wielu-zm.pdf
(
127 KB
)
Pobierz
1. Pokaza¢, »e dla funkcjif(x;y)=
xy
x+y
istniej¡ granice iterowane w(0;0), natomiast nie
istnieje lim
(x;y)!(0;0)
f(x;y).
2. Pokaza¢, »e dla funkcjif(x;y)=
(x1)y
2
(x1)
2
+y
4
istniej¡ granice iterowane w(1;0), natomiast
nie istnieje lim
(x;y)!(1;0)
f(x;y).
(x;y)!(2;1)
(x2y)sin
1
x2
sin
1
3. Pokaza¢, »e istnieje lim
y1
, natomiast nie istniej¡ granice ite-
rowane.
4. Korzystaj¡c z definicji wyznaczy¢
@f
@x
(x;y)i
@f
@y
(x;y)dla funkcji danej wzorem
f(x;y)=
p
x
2
+y
2
:
Czy istniej¡
@f
@x
(0;0)i
@f
@y
(0;0).
2
!
R
, zadana wzorem
5. Pokaza¢, »e funkcjaf:
R
(
xy
x
2
y
2
x
2
+y
2
dla (x;y)6=(0;0)
0 dla (x;y)=(0;0)
f(x;y)=
ma w punkcie(0;0)pochodne cz¡stkowe mieszane drugiego rz¦du (tzn.
@
2
f
@x@y
(0;0)oraz
@
2
f
@y@x
(0;0)), ale pochodne te nie s¡ identyczne.
6. Poda¢ wzory wszystkich pochodnych cz¡stkowych I-go i II-go rz¦du dla funkcji danej wzorem:
(a) f(x;y)=e
x
2
+y
2
x
,
(b) f(x;y)=ln(x
2
y
2
),
v
arctg
p
3s+2t,
(e) f(s;t;u;v)=
u
(d) f(r;')=rcos',
(c) f(u;v;t)=tarcsin
p
uv,
(f) f(x;y;z)=
1
x+2y
+
1
2y+3z
.
7. Poda¢ macierze Jacobiego dla funkcji danych wzorami:
(a)f(x;y;z)=[a
1
x+b
1
y+c
1
z;a
2
x+b
2
y+c
2
z;a
3
x+b
3
y+c
3
z],
(b)f(x;y)=
h
xy;
x
y
i
,
(c) f(t)=
t;t
2
;
p
t
,
(d)f(x;y;z)=e
xyyarccosz
,
(e)f(x;y)=
x
y
2
.
8. Dla funkcji z zadania 6 poda¢ macierze Jacobiego oraz macierze drugich pochodnych cz¡st-
kowych.
1
9. Korzystaj¡c z faktu:
Je±lifunkcjagjestró»niczkowalnawpunkcie(x
1
;:::;x
n
),za±fjestró»niczkowalnawpunk-
cieg(x
1
;:::;x
n
)tofunkcjafgjestró»niczkowalnawpunkcie(x
1
;:::;x
n
)ajejmacierz
Jacobiegowyra»awzór:
(fg)
0
(x
1
;:::;x
n
)=f
0
[g(x
1
;:::;x
n
)]g
0
(x
1
;:::;x
n
)
Wyznaczy¢ macierze Jacobiego dla odwzorowa« zło»onych:
(a)fg(1;2)je±li:g(x;y)=
y
x
,f(t)=arctgt,
(b)fg(2;4)je±li:g(x;y)=2x+y
2
,f(u;v)=
uv;
u
v
.
10. Wyznaczy¢ ró»niczki:
(a)d
(1;2)
f(h
1
;h
2
)orazd
2
(1;2)
f(h
1
;h
2
)dla funkcjif(x;y)=ln(yx),
(b)d
(1;2;0)
f(h
1
;h
2
;h
3
)orazd
2
(1;2;0)
f(h
1
;h
2
;h
3
)dla funkcjif(x;y;z)=xye
y+2z
.
11. Obliczy¢ przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia:
(a)
p
5;01
2
3;98
2
,
(b) e
1;99
2
2;02
2
,
(c) 0;97
1;01
.
12. Poda¢ równania płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni:
(a)z=xyw punkcieP=(2;1;2),
(b)x
2
+4y
2
+z
2
=25w punkcieP=(4;0;3).
2
Plik z chomika:
qba997
Inne pliki z tego folderu:
gronowicz_podstawy_analizy(1).pdf
(7591 KB)
gronowicz_podstawy_analizy.pdf
(7591 KB)
Calki.pdf
(3187 KB)
f-cykl.pdf
(101 KB)
ciagi.pdf
(123 KB)
Inne foldery tego chomika:
Angielski
Catia
Chemia
Elektronika
Fizyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin