Matura z matematyki 2010 - przykładowe zadania na poziomie podstawowym

Standardy to poszczególne zakresy wiedzy, które maturzysta powinien mieć opanowane. Sprawdź, czy sprostasz wymaganiom, które postawili egzaminatorzy. Do każdego standardu dołączyliśmy komplet zadań.

Licealisto, musisz wykazać się umiejętnościami z zakresu:

1) wykorzystania i tworzenia informacji:

Uczeń interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki. To znaczy, że potrafi:

- odczytać informację bezpośrednio wynikającą z treści zadania
- zastosować podany wzór lub podany przepis postępowania
- wykonać rutynową procedurę dla typowych danych
- przejrzyście zapisać przebieg i wynik obliczeń oraz uzyskaną odpowiedź

Zadanie 1. Diagram przedstawia wyniki ankiety, w której ankietowani odpowiedzieli na pytanie, jakie napoje piją między posiłkami. Ankietowani wybierali tylko jeden z czterech rodzajów napojów.



Na podstawie informacji przedstawionych na diagramie oblicz:

- ile procent badanych osób pije soki owocowe lub wodę mineralną,

- ile procent badanych osób nie pije owocowych napojów gazowanych,

- ile procent badanych osób nie pije soków warzywnych i nie pije wody mineralnej.

Zadanie 2. Dany jest ciąg

określony wzorem

dla n = 1,2,3... . Oblicz.

Zadanie 3. Przedstaw

w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Zadanie 4. Podaj miejsca zerowe funkcji określonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x:

Zadanie 5. Oblicz:

 

Zadanie 6. Wskaż równanie okręgu o środku w punkcie S = (-1, 2) i promieniu



2.) Wykorzystania i interpretowania reprezentacji:

Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Zdający potrafi:
- poprawnie wykonywać działania na liczbach i przedziałach liczbowych,
- przekształcać wyrażenia algebraiczne,

- rozwiązywać niezbyt złożone równania, ich układy oraz nierówności,

- odczytywać z wykresu własności funkcji,

- sporządzać wykresy niektórych funkcji,

- znajdować stosunki miarowe w figurach płaskich i przestrzennych(także z wykorzystaniem układu współrzędnych lub trygonometrii),

- zliczać obiekty i wyznaczać prawdopodobieństwo w prostych sytuacjach kombinatorycznych,

- zastosować dobrze znaną definicję lub twierdzenie w typowym kontekście

Zadanie 7. Na osi liczbowej zaznaczono przedział A złożony z tych liczb rzeczywistych, których odległość od punktu 1 jest niewiększa od 4,5. Przedział A przesunięto wzdłuż osi o 2 jednostki w kierunku dodatnim, otrzymując przedział B. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, które należą jednocześnie do A i do B.

Zadanie 8. Rozwiąż równanie

Zadanie 9. Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale

Zadanie 10. Pan Kowalski planując wyjazd na wakacje letnie w następnym roku postanowił założyć lokatę, wpłacając do banku 2000 zł na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat:

- lokata A - oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku,

- lokata B - oprocentowanie w stosunku rocznym 4,8%, kapitalizacja odsetek co pół

roku,

- lokata C - oprocentowanie w stosunku rocznym 4,6%, kapitalizacja odsetek co kwartał.

Oceń, wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza dla Pana Kowalskiego.

Zadanie 11. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym długość AC jest równa długości BC i wynosi 10cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

Zadanie 12. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma miarę 40 stopni . Oblicz miarę kąta CAB.

Zadanie 13. Oblicz odległość punktu A od środka odcinka BC, gdzie A=(1,3),B=(4, 7),C=(-2, -3).

Zadanie 14. W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Wiadomo, że

Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
 

Zadanie 15. O zdarzeniach losowych A i B wiemy że:



Oblicz:

Zadanie 16. Na podstawie fragmentu wykresu funkcji kwadratowej f (x) wskaż, które zdanie jest prawdziwe.



a) Miejscami zerowymi funkcji są liczby: -2 oraz 4.

b) Funkcja jest rosnąca w przedziale (-2, 4) .

c) Funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla x <1.

d) Zbiorem wartości funkcji jest przedział

3) Modelowania matematycznego:

Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji. Zdający potrafi, także w sytuacjach praktycznych:

- podać wyrażenie algebraiczne, funkcję, równanie, nierówność, interpretację geometryczną, przestrzeń zdarzeń elementarnych opisujące przedstawioną sytuację

- przetworzyć informacje wyrażone w jednej postaci w postać ułatwiającą rozwiązanie problemu

- ocenić przydatność otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model

Zadanie 17. Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 10% oraz zwiększamy długość boku b o 20%.

a) O ile procent zwiększy się pole tego prostokąta?

b) Wyznacz długość boku b, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeśli wiadomo, że bok a ma długość 30 cm.

Zadanie 18. Liczbę 42 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, by różnica ich kwadratów była równa 168.

Zadanie 19. Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie

 

opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości parametru b , dla których wierzchołek paraboli leży nad osią Ox.

Zadanie 20. Punkt B =(-1,9) należy do okręgu stycznego do osi Ox w punkcie A = (2,0) . Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 21. Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów.

Zadanie 22. Długość ramienia BC trapezu prostokątnego jest dwa razy większa od różnicy długości jego podstaw. Kąt ABC ma miarę:



 

4) użycia i tworzenia strategii:

Uczeń stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania. Zdający potrafi:

- dobrać odpowiedni algorytm do wskazanej sytuacji problemowej

- ustalić zależności między podanymi informacjami

- zaplanować kolejność wykonywania czynności, wprost wynikających z treści zadania, lecz nie mieszczących się w ramach rutynowego algorytmu

- krytycznie ocenić otrzymane wyniki

Zadanie 23. Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność



Zadanie 24. Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie

Zadanie 25. W ciągu arytmetycznym

dane są wyrazy:

Wyznacz wszystkie wartości n, dla których wyrazy ciągu są mniejsze od 200.

Zadanie 26. Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek:

Zadanie 27. Ile punktów wspólnych ma okrąg o równaniu

prostą o równaniu 3x + y -15 = 0 ?

 

Zadanie 28. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej g jest przedział

a zbiorem rozwiązań nierówności g(x) >0 jest przedział (2, 8). Wyznacz wzór funkcji g.

Zadanie 29. Rozwiąż równanie (2x+1)+(2x+4)+(2x+7)+...+(2x+28)=155 , jeśli wiadomo, że składniki po lewej stronie są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.

Zadanie 30. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie zaznaczono punkty A = (2,0) i B =(4,0). Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C, dla których ABC jest trójkątem równoramiennym o podstawie AB i polu równym 3.

Zadanie 31. Wiedząc, że jest kątem ostrym i , oblicz wartość wyrażenia:

Zadanie 32. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB, taki że

i długość AC = 7 . Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 33. Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu.

5) rozumowania i argumentacji:

Uczeń prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków. Zdający potrafi:

- wyprowadzić wniosek z prostego układu przesłanek i go uzasadnić

- zastosować twierdzenie, które nie występuje w treści zadania

Zadanie 34. Wiadomo, że 1,5849 jest przybliżeniem liczby

z zaokrągleniem do 4 miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie liczby

z zaokrągleniem do 3 miejsc po przecinku oraz przybliżenie liczby

z zaokrągleniem do 1 miejsca po przecinku.

Zadanie 35. Wykaż, że dla m = 3 nierówność

jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste x.

Zadanie 36. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca to

. Największa wartość funkcji f w przedziale <- 8,- 7> jest równa (-24). Wyznacz wzór funkcji f i narysuj jej wykres.

 

Zadanie 37. W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

Zadanie 38. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że

Zadanie 39. Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB, zakreślił walec w1. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku AD, zakreślił walec w2. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitych. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem.