Badanie linii długiej

Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Laboratorium Teorii Obwodów II

2. Badanie linii długiej

Częstochowa 2011

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest doświadczalne zapoznanie się ze zjawiskami falowymi zachodzącymi
w linii długiej przy różnych obciążeniach i różnych częstotliwościach napięcia zasilania.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Linia długa i jej parametry jednostkowe

Linia długa - linia elektryczna o długości porównywalnej z długością fali, która odpowiada częstotliwości napięć i prądów w linii. W szerszym ujęciu linia długa to obiekt o parametrach rozłożonych.

Linię długą charakteryzują cztery parametry jednostkowe:

-          rezystancja jednostkowa R, W/km, związana ze stratami energii elektrycznej zamienianej na ciepło w przewodach,

-          indukcyjność jednostkowa L, H/km, związana z istnieniem pola magnetycznego wokół przewodów,

-          upływność jednostkowa G, S/km, związana z niedoskonałością izolacji między poszczególnymi przewodami linii,

-          pojemność jednostkowa C, F/km, związana z istnieniem pola elektrycznego między poszczególnymi przewodami linii.

Podzielmy linię długą na odcinki o długości Dx. Każdy taki odcinek może zostać zastąpiony czwórnikiem jak na rysunku 1.

Rys. 1.              Linia długa i schemat zastępczy jej odcinka o długości Dx

2.2. Równania linii długiej

Dla odcinka linii długiej z rysunku 1 można ułożyć następujące równania Kirchhoffa:

Dla Dx ® 0 powyższe równania przyjmują postać tzw. równań telegrafistów

Zakładając następnie, że prąd i napięcie w danym punkcie x są sinusoidalnie zmienne w czasie (z pulsacją w) i stosując metodę liczb zespolonych, otrzymuje się

gdzie

Rozwiązanie powyższego układu równań można zapisywać w różnych postaciach, m.in.:

-          w postaci wykładniczej:

gdzie U1¢ i U1² są stałymi równymi wartościom skutecznym pierwotnej i odbitej fali napięciowej na początku linii, natomiast

Z postaci tej wynika, że w ogólnym przypadku napięcie i prąd w linii długiej jest superpozycją dwóch fal - jednej biegnącej od źródła do odbiornika (fala pierwotna) i drugiej - biegnącej od odbiornika do źródła (fala odbita).

-          w postaci hiperbolicznej:

gdzie U1 i I1 - napięcie i prąd na początku linii długiej.

-          w postaci wykładniczej z odległością mierzoną od końca linii (z = l – x, l - długość linii):

gdzie U2 i I2 - napięcie i prąd na końcu linii długiej (w odbiorniku Z2).

Na rysunku 2 przedstawiono schematycznie linię długą o długości l wraz z charakterystycznymi parametrami.

Rys. 2.              Prądy i napięcia w linii długiej

2.3. Parametry falowe linii długiej

Występujący w rozwiązaniach równań linii długiej parametr Zc = ZcejJ jest tzw. impedancją charakterystyczną, zwaną także impedancją falową, a współczynnik g = a + jb jest tzw. współczynnikiem propagacji fali. Jego część rzeczywista a = Reg nosi nazwę współczynnika tłumienia, a część urojona b = Img - współczynnika opóźnienia fazowego. Znając b, można obliczyć prędkość fali v oraz jej długość l:

Wymienione parametry noszą nazwę parametrów falowych linii długiej. Nie zależą one od rodzaju odbiornika ani od długości linii, lecz tylko od jej parametrów jednostkowych i pulsacji w.

2.2. Rozkład wartości skutecznych napięć i prądów w linii długiej

Można pokazać, że impedancja wejściowa linii długiej jest równa

Wprowadza się także tzw. współczynnik odbicia fali

który charakteryzuje bezpośrednio stopień dopasowania odbiornika do linii. Gdy n = 0, mówimy, że linia pracuje w stanie dopasowania falowego. Jest to stan pożądany, gdyż wtedy nie ma fali odbitej, a więc moc wysłana przez generator jest w całości przekazywana do odbiornika.

Przypuśćmy, że znamy Z2 (impedancję odbiornika) i U1 (napięcie zasilania) oraz parametry linii. Napięcie i prąd w dowolnym punkcie linii, odległym o x od jej początku, można obliczyć następująco:

-          obliczamy impedancję wejściową linii Z1, przy czym najpierw obliczamy tanhgl:

-          obliczamy prąd wejściowy I1:

-          obliczamy wartości skuteczne fali pierwotnej i odbitej na początku linii:

-          przedstawiamy je w postaci wykładniczej

-          dla wybranej wartości x obliczamy części rzeczywiste i urojone wartości skutecznych napięcia i prądu w odległości x od początku linii (UWAGA: J = argZc):

-          obliczamy wartości skuteczne prądu i napięcia w odległości x od początku linii

Przykładowe wykresy rozkładu modułu napięcia i prądu w linii długiej zamieszczono na rysunku 3.

Rys. 3.              Wykresy rozkładów modułu napięcia i prądu w niezniekształcającej linii długiej dla wybranych obciążeń (przyjęto al = 0,2, l = 1,625l)

2.3. Czwórnikowy model linii

Linię długą można zamodelować za pomocą n łańcuchowo połączonych jednakowych czwórników (rys. 4) o strukturze odpowiadającej odcinkowi linii o długości Dx (niekoniecznie 1 km). Mierząc prąd i napięcie na zaciskach poszczególnych czwórników można znaleźć rozkład modułu wartości skutecznej prądu i napięcia.

Rys. 4.              Czwórnikowy model linii długiej

Model czwórnikowy zastosowany w ćwiczeniu (punkty 3.1 i 3.2) składa się z 12 jednakowych czwórników o strukturze pokazanej na rysunku 5. Jest on umieszczony we wspólnej obudowie z wyprowadzonymi zaciskami pomiarowymi. Ponadto z boku obudowy wyprowadzono zaciski różnych obciążeń Z2, które umożliwiają następujące obciążenie linii:

-          impedancją charakterystyczną Z2 = Zc (linia dopasowana falowo),

-          rezystancją R > Zc,

-          rezystancja R < Zc,

-          pojemnością C,

-          indukcyjnością L.

Parametry jednego czwórnika wynoszą:

-          R = 6,5 W,

-          L = 0,13 H,

-          G = 0 S,

-          C = 1 mF.

Przyjmując, że indukcyjność linii powietrznej wynosi około 1,3 mH/km, można stwierdzić, że jeden czwórnik odpowiada odcinkowi linii o długości około 100 km, zaś całym model - linii
o długości około l = 1200 km, przy czym parametry linii są równe:

-          R = 0,065 W/km,

-          L = 1,3 mH/km,

...