wyklad_4-5.pdf

(215 KB) Pobierz
PODSTAWOWE TYPY LAMINATÓW WARSTWOWYCH
LAMINATY SYMETRYCZNE I ANTYSYMETRYCZNE
Wybrane typy
regularności w układzie warstw
laminatu
Klasyfikacji laminatów
Macierze sztywności i podatności dla typowych laminatów.
5.1. Klasyfikacja kompozytów
5.1.1. Definicje,
określenia
W celu ułatwienia dalszej lektury zostaną poniżej podane
stosowane w kolejnych
wykładach
określenia, definicje i wynikające z nich wnioski. Ze względu na brak w niektórych przypadkach
dobrych polskich odpowiedników terminów anglojęzycznych, podano obok użytych terminów polskich
ich oryginały angielskie.
1.
Warstwa laminatu
-
pod pojęciem tym rozumie się grupę połączonych ze sobą pojedynczych
warstw kompozytowych o tej samej orientacji. Przykładowo w laminacie o kodzie [ 0°/90°
2
/-45°
3
]
są trzy
warstwy, tzn. 0°, 90°
2
i -45°
3
.
2.
Laminat symetryczny.
Laminat jest symetryczny, jeżeli zachodzą następujące 2 warunki
θ
( z) =
θ
(- z)
Q
i j
(z) = Q
i j
(-z)
(5.1)
(5.2)
Pierwszy z tych warunków oznacza symetrię ułożenia warstw wzg. płaszczyzny środkowej
(symetria
geometryczna), a drugi symetrię modułów sztywności (symetria materiałowa). W dalszej
części będziemy przyjmować, że drugi warunek jest zawsze spełniony,
co oznacza
że
laminat
złożony jest z warstw tego samego materiału kompozytowego.
3.
Laminat antysymetryczny.
Przy założeniu symetrii materiałowej, warunek antysymetrii laminatu
dotyczy wyłącznie jego cech geometrycznych i ma postać
θ(
z)= -
θ
(- z)
t
i
= t / N
i = 1, 2, ...,N
(5.3)
4.
Laminat regularny.
Jest to taki laminat, w którym wszystkie warstwy mają tę samą grubość, tzn.
(5.4)
gdzie
N
oznacza liczbę warstw laminatu,
t
-
jego grubość.
1
J. German:
MECHANIKA KOMPOZYTÓW
5.
Laminat zrównoważony
*)
. W celu zdefiniowania tego pojęcia oznaczmy symbolem K liczbę
warstw o różnej orientacji kątowej (np. w laminacie [40°
5
/ -30°
2
/ -40°
5
/ -30°
3
], K = 3). Laminatem
zrównoważonym będziemy nazywać laminat, w którym objętościowy udział tych warstw jest taki
sam, tzn.
v
i
= 1 / K
i = 1, 2, ...,K
(5.5)
6.
Laminat o poprzecznym układzie warstw
lub krótko
laminat poprzeczny
lub częściej
nazywany, jako
krzyżowy
(ang.
cross-ply laminate)
-
laminat składający się wyłącznie z warstw
0° i 90°.
7.
Laminat o kątowym układzie warstw
lub krótko
laminat kątowy
(ang.
angle-ply laminate)
-
laminat składający się wyłącznie z warstw +
α
, -
α
.
8.
Laminat dowolny
- laminat
o całkowicie dowolnym układzie geometrycznym warstw ( tzn. ani nie
symetryczny, ani nie antysymetryczny).
Z podanych powyżej definicji, a także prostych rozważań geometrycznych wynikają następujące
wnioski
1.
Każdy laminat
symetryczny
musi się składać z
nieparzystej
liczby warstw.
Wynika to z faktu, że wszystkie warstwy znajdujące się po jednej stronie powierzchni środkowej
mają swoich "bliźniaków" po jej przeciwnej stronie. Wyjątek stanowi warstwa środkowa, przez
którą przechodzi płaszczyzna środkowa, w związku z czym jest ona "jedynakiem", a zatem liczba
warstw musi być liczbą nieparzystą ("2n+1").
2.
Każdy laminat
antysymetryczny
musi się składać z
parzystej
liczby warstw.
Dowód jest prostym
ćwiczeniem
dla czytelnika.
3. Laminat
symetryczny i regularny
nie może być zrównoważony.
Regularność oznacza, że grubości wszystkich warstw są identyczne. Z symetrii wynika, że laminat
składa się z par warstw , co w połączeniu z pierwszym stwierdzeniem prowadzi do konkluzji, że
objętościowy udział każdej pary musi być taki sam. Nie dotyczy to jednak warstwy środkowej
laminatu, która nie tworzy pary, jej udział objętościowy musi zatem być dwukrotnie mniejszy od
udziału pozostałych warstw. W efekcie laminat nie może być zrównoważony.
4. Laminat
symetryczny i zrównoważony
nie może być regularny.
Ta własność jest konsekwencją rozumowania odwrotnego do przedstawionego powyżej.
5. Laminat
antysymetryczny,
tak
krzyżowy,
jak i
kątowy jest zawsze zrównoważony.
Laminat antysymetryczny obu typów można zapisać ogólnie w
postaci
.............
α
a
/-
α
b
/
α
c
/-
α
d
/
α
d
/-
α
c
/
α
b
/-
α
a
..
... .. .. .. .. ..
Dla laminatu poprzecznego przez "α "
należy rozumieć konfigurację 0°, a przez "-α
"
- 90°.
Z (5.6) wynika, że liczba pojedynczych warstw "α
" wynosi ...+a+c+d+b+..., a warstw "-
α
" -
...+b+d+c+a+...,
czyli tyle samo, co oznacza, że także objętościowy udział obu typów warstw musi
być taki sam, a to z kolei oznacza, że laminat musi być zrównoważony.
Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek ...= a = b = c = d =..., to laminat jest także
regularny.
6. Laminat
antysymetryczny, o dowolnym ułożeniu warstw może nie być zrównoważony.
Jako dowód wystarcza przykład potwierdzający tezę
- [30°/15°
2
/-40°
3
/40°
3
/-15°
2
/-30°].
Widać, że
v
3 0
= v -
3 0
= 1/12 ; v
1 5
= v -
1 5
= 1/6 ; v
4 0
= v -
4 0
= 1/4 .
(5.6)
*)
Określenie "laminat zrównoważony" używane jest w literaturze w odniesieniu do laminatów kątowych i oznacza
laminaty o jednakowej ilości warstw +α
i -α.
Definicja wprowadzona powyżej obejmuje tę sytuację jako przypadek
szczególny.
2
Wykład 4
5
5.1.2. Klasyfikacja kompozytów
Dokonanie klasyfikacji wszystkich możliwych kompozytów jest niemal niewykonalne ze wzg. na
wielość kryteriów, wedle których można przeprowadzić taką klasyfikację, jak i wręcz nieograniczoną
swobodę w kształtowaniu ich układu geometrycznego. Gdyby uwzględnić kompozyty hybrydowe tzn.
takie, w których warstwy różnią się materiałem, to stopień komplikacji radykalnie rośnie. Klasyfikacja
przedstawiona w tym
wykładzie
przyjmuje jako kryterium - cechy geometryczne kompozytów, a
ponadto
ogranicza się do
kompozytów
najczęściej stosowanych
(pojedyncze warstwy i laminaty).
Klasyfikacja ta przedstawiona jest na rys. 5.1, na którym uwidoczniono także możliwe kombinacje
różnych cech laminatów. Na jej podstawie, w następnych podrozdziałach będą podane macierze
sztywności dla poszczególnych typów kompozytów. Dla lepszego zrozumienia tej klasyfikacji, w tabeli
5.1 zamieszczono zestawienie typów, z podaniem przykładowych kodów laminatów.
Dokonana klasyfikacja służy przede wszystkim wprowadzeniu porządku i przejrzystości w
nazewnictwie laminatów (można powiedzieć, że w pewnym stopniu ma ona taki sam cel jak podział
materiałów "standardowych
-
np. na stale węglowe, niskowęglowe, stopowe, żeliwo, staliwo, stopy,
metale kolorowe itd.). Nie można natomiast powiedzieć, że z przynależnością do każdej z
wyróżnionych klas wiążą się zawsze uproszczenia w budowie np. macierzy sztywności.
IZOTROPOWA
SPECJALNIE
ORTOTROPOWA
OGÓLNIE
ORTOTROPOWA
WARSTWA
LAMINAT
SYMETRYCZNY
ANTYSYMETRYCZNY
WARSTWY
IZOTROPOWE
QUASI-IZOTROPOWY
DOWOLNY
KĄTOWY
POPRZECZNY
DOWOLNY
KĄTOWY
POPRZECZNY
R,Z
R, NZ
NR, Z
NR, NZ
R,Z
R, NZ
NR, Z
NR, NZ
R, Z - regularny, zrównoważony
R, NZ - regularny, niezrównoważony
NR, Z - nieregularny, zrównoważony
NR, NZ - nieregularny, niezrównoważony
Rys. 5.1. Klasyfikacja podstawowych laminatów i pojedynczych warstw.
Często bywa tak, że uproszczenia występują, ale nieograniczona dowolność w ułożeniu warstw
laminatów, nawet należących do tej samej grupy, uniemożliwia ich wspólny zapis formalny i zarazem
formalny zapis tych uproszczeń (przykładowo
-
z tych samych warstw można zbudować laminaty o
kodach: [0/90
3
/0
2
/90/0
2
/90/0
2
/90
3
/0], [0
2
/90
3
/0/90/0
2
/90/0/90
3
/0
2
], [0
3
/90
3
/0
2
/90
2
/0
2
/90
3
/0
3
], itd.,
wszystkie należące do grupy laminatów symetrycznych, poprzecznych, zrównoważonych, a przecież
różniące się liczbą warstw, ich grubością i kolejnością).
W kolejnych puktach
będą omówione podstawowe grupy kompozytów, wraz z możliwie najprostszymi,
ogólnymi postaciami macierzy sztywności. Obliczenia będą pominięte, gdyż w wielu przypadkach są
długie
–
dociekliwy czytelnik może je potraktować, jako zadanie do samodzielnego wykonania.
3
J. German:
MECHANIKA KOMPOZYTÓW
KONFIGURACJA LAMINATU
CECHY LAMINATU
Regularny, zrównoważony
SYMETRYCZNY
Krzyżowa
nie istnieje
0/90/0
0/90
2
/0
0/90
3
/0
0/90
nie istnieje
0/90
2
/0
2
/90
nie istnieje
Kątowa
nie istnieje
α/-α
/α
α/-α
2
/α
α/-α
3
/α
α/-α
nie istnieje
α/-α
2
/α
2
/-α
nie istnieje
Dowolna
nie istnieje
0/20/0
0/20
2
/0
0/20
3
/0
0/20/-20/90
90/0/20/-20/90/0
90/0/20
2
/-20
2
/90/0
90/0/20
3
/-20
3
/90/0
Regularny, niezrównoważony
Nieregularny, zrównoważony
Nieregularny, niezrównoważ.
Regularny, zrównoważony
ANTY-
SYMETRYCZNY
Regularny, niezrównoważony
Nieregularny, zrównoważony
Nieregularny, niezrównoważ.
TABELA 5.1. Przykłady kodów typowych laminatów
5.2. Kompozyty symetryczne
Podstawową i ważną właściwością wszystkich kompozytów symetrycznych, bez względu na ich
dalsze cechy, jest to, że macierz sztywności sprzężeń jest macierzą zerową
B
ij
= 0
(5.7)
Wynika to wprost z postaci równania (4.26), określającego elementy tej macierzy. Ze względu na
symetrię, każdej warstwie odpowiada jej zwierciadlane odbicie względem płaszczyzny środkowej,
różniące się jedynie znakiem współrzędnej środka ciężkości. Tak więc sumy odpowiednich iloczynów
dla każdej pary warstw muszą się zerować.
Z tego samego powodu co powyżej, w kompozytach symetrycznych nie mogą wystąpić wypadkowe
momenty termiczne, tzn.
{M
T
}
=
{0}
(5.8)
To sprawia
m.in., że laminaty symetryczne nie wykazują tendencji do
ulegania zwichrzeniu w czasie
utwardzania po procesie laminacji.
W konsekwencji równań (5.7) i (5.8) równania fizyczne dla kompozytu symetrycznego są zawsze
rozprzęgnięte i przyjmują postać
{
M
}
=
[
D
]
{
o
}
κ
{
ε
}
=
[
A
]
−
1
{
N
}
+
z
[
D
]
−
1
{
M
}
{
N
}
=
[
A
]
{
ε
o
}
(5.9)
(5.10)
Po odwróceniu powyższych równań, odkształcenia w dowolnej warstwie laminatu wyrażają się
związkiem
(5.11)
Korzystając z równania (4.50), równania fizyczne, określające naprężenia w "k-tej"
warstwie laminatu
symetrycznego można zapisać w postaci
{
σ
}
k
=
[
Q
]
k
[
A
]
−
1
{
N
}
+
[
Q
]
k
{
[
A
]
−
1
{
N
T
}
−
{
α
}
k
∆
T
}
+
z
[
Q
]
k
[
D
]
−
1
{
M
}
{
σ
}
k
=
[
Q
]
k
[
A
]
−
1
{
N
}
+
[
Q
]
k
{
[
A
]
−
1
{
N
T
}
−
{
α
}
k
∆
T
}
(5.12)
Dla stanu tarczowego równanie to upraszcza się do postaci
(5.13)
Dalsze uproszczenia, dotyczące w szczególności macierzy sztywności tarczowej i zginania, możliwe
są dla laminatów charakteryzujących się nie tylko symetrią, ale dodatkowo innymi, specyficznymi
cechami budowy geometrycznej.
4
Wykład 4
5
5.2.1. Pojedyncze warstwy
Indywidualna warstwa, z oczywistych powodów zawsze jest symetryczna względem płaszczyzny
środkowej. Nie tworzy ona oczywiście laminatu, ale dla łatwiejszego zrozumienia dalszych rozważań
zostaną tu przypomniane podstawowe wiadomości jej dotyczące. W równym stopniu odnoszą się one
również do specyficznego rodzaju laminatu, jakim jest układ wielu pojedynczych warstw połączonych
ze sobą, identycznych pod względem materiałowym i ułożonych w identyczny sposób geometryczny.
Taki laminat makroskopowo tworzy jedną warstwę. Omówiona będzie także warstwa izotropowa, która
może być kompozytem (np. kompozyt z drobno pociętymi włóknami, losowo rozłożonymi w matrycy),
ale z reguły nim nie jest. Układ różnych warstw izotropowych stanowi już jednak klasyczny laminat
(np. bimetale), toteż celowe jest włączenie do analizy także pojedynczej warstwy izotropowej.
♦
Warstwa izotropowa
Jedyne dwie niezależne stałe sprężyste dla warstwy izotropowej to moduł Younga
E
i wsp. Poissona
�½
.
Moduł ścinania
G
jest zależny od
E
i
�½
.
Macierz sztywności, znana z teorii sprężystości, ma postać
0
1
�½
K
[
Q
]
= 
�½
1
0
0 0
(
1
−
�½
) /
2
K
=
(
1
−
�½
)
2
E
(5.14)
Można ją także uzyskać jako szczególny przypadek anizotropii, korzystając np. ze związków (2.42),
kładąc w nich
E
1
=
E
2
=
E,
�½
1 2
=
�½
2 1
=
�½.
Ze względu na fakt, że materiał izotropowy jest niewrażliwy na zmianę
kierunku, zredukowana i
transformowana macierz sztywności muszą być oczywiście identyczne. Wykazanie tego trywialnego
spostrzeżenia w oparciu o zależności obowiązujące dla materiału anizotropowego może stanowić
dobry sprawdzian poprawności tych zależności. Korzystając z macierzy (5.14), natychmiast widać z
równań (3.20), że współczynniki transformacyjne
U
2
i U
3
wynoszą
0,
zaś pozostałe przyjmują postać
U
1
=
K
U
4
=
K
�½
U
5
=
K (1 -
�½
) / 2
(5.15)
Biorąc pod uwagę (5.15) i zależności transformacyjne ujęte w tabeli 3.2 łatwo stwierdzić, że prowadzą
one dla przypadku izotropii do oczekiwanego rezultatu, gdyż istotnie otrzymujemy z nich, że
[
Q
]
=
[
Q
]
(5.16)
Korzystając z równań (4.25) i (4.27) otrzymujemy macierze sztywności tarczowej i giętnej
[
A
]
=
[
Q
]
t
[
D
]
=
[
Q
]
t
3
/
12
♦
Warstwa kompozytowa w konfiguracji osiowej (warstwa specjalnie ortotropowa)
(5.17)
(5.18)
Zredukowana macierz sztywności [Q] określona jest przez związek (2.42) i ma postać (5.19). Macierz
transformowana jest w tym przypadku tożsama z macierzą zredukowaną. Korzystając z ogólnych
postaci macierzy sztywności tarczowej
– rów.
(4.25) i sztywności zginania
– rów. (4.27), otrzymamy szczególne
postacie tych macierzy dla warstwy specjalnie ortotropowej
w formie równań odpowiednio (5.20) i (5.21)
E
1
1
−
�½ �½
12 21
[
Q
]
=
Q
= 
E
2
�½
12
1
−
�½
12
�½
21
0
E
1
�½
21
1
−
�½
12
�½
21
1
−
�½
12
�½
21
0
E
2
[ ]
0
0
G
12
(5.19)
[
A
]
=
[
Q
]
t
(5.20)
(5.21)
[
D
]
=
[
Q
]
t
3
/
12
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin