MES opracowanie.pdf

(239 KB) Pobierz
1.
Główna koncepcja metody elementów skończonych, ważniejsze zalety MES w porównaniu do innych
metod.
Metoda Elementów Skończonych jest metodą aproksymacji (czyli otrzymywania rozwiązań przybliżonych)
równań różniczkowych cząstkowych (RRC). Równania różniczkowe stanowią model matematyczny,
najczęściej jakiegoś procesu lub stanu układu fizycznego. Proces lub stan opisywane są za pomocą
parametrów będących funkcjami położenia w przestrzeni i ewentualnie czasu. RRC opisują zależności
między tymi funkcjami oraz ich pochodnymi. Znalezienie rozwiązania RRC to znalezienie tych funkcji,
stanowiących funkcje niewiadome dla konkretnego zagadnienia. Istotą metody elementów skończonych
jest sposób aproksymacji RRC polegający na podziale obszaru obliczeniowego na małe podobszary o
prostych kształtach, zwane elementami skończonymi oraz specjalny sposób konstruowania funkcji
aproksymujących opierający się na funkcjach zdefiniowanych w elementach skończonych.
Zastosowanie MES do rozwiązania konkretnego zadania naukowego lub inżynierskiego składa się z dwóch
odrębnych procesów:
stworzenia modelu obliczeniowego
rozwiązania konkretnego zadania za pomocą uzyskanego modelu
-MES jako jedna z niewielu metod potrafi modelować zjawiska w skomplikowanych obszarach obliczeniowych,
co stanowi jedną z jej podstawowych zalet w zastosowaniach praktycznych.
-Własności materiału elementów niekoniecznie muszą być jednakowe. To daje możliwość wykorzystania MES
do materiałów wielofazowych, jak również do materiałów, których własności są funkcją temperatury.
-Ośrodek o skomplikowanym kształcie może być zaproksymowana z dużą dokładnością za pomocą elementów
krzywoliniowych.
-Wymiary elementów mogą być objętościowo rożne. To daje możliwość powiększania lub zmniejszania
wymiarów elementów w pewnych strefach rozpatrywanej objętości.
-Za pomocą MES można uwzględniać nieliniowe warunki brzegowe
2.
Element jednowymiarowy, jego funkcji kształtu.
Jednowymiarowy simpleks-element jest to prosty odcinek o długości L. Oznaczmy węzły literami i, j.
Węzłowe wartości temperatur – t
i
i t
j
Funkcja aproksymująca dla tego elementu ma postać: t = a
1
+ a
2
X
Współczynniki a
1
i a
2
można wyznaczyć za pomocą warunków w punktach węzłowych:
t = t
i
przy X = X
i
t = t
j
przy X = X
j
co daje układ dwóch równań : t
i
= a
1
+ a
2
X
i
t
j
= a
1
+ a
2
X
j
ich rozwiązanie daje :
a
1
�½
t
i
X
j
t
j
X
i
L
X
j
X
a
2
�½
t
j
t
i
L
Funkcje liniowe od X nazywa się funkcjami kształtu, oznaczymy je jako N. Każda funkcja kształtu powinna
miecz dolny indeks dla identyfikacji węzła, do którego ona należy.
L
t
i
{
t}
�½  �½
[
N
]
�½
[
N
i
N
j
]
t
j
N
i
�½
N
j
�½
X
X
i
L
t
�½
N
i
t
i
N
j
t
j
�½
[
N
]{
t
}
t
�½
a
1
a
2
X
3.
Ogólne właściwości funkcji kształtu.
-Najczęściej funkcje liniowe lub wielomiany niskiego stopnia.
-Suma funkcji kształtu elementu w jego dowolnym punkcie równa jest jeden.
Dla elementu jednowymiarowego tą właściwość można przedstawić w postaci ogólnej:
N
i
N
j
�½
X
j
X
L
X
X
i
X
j
X
i
L
�½
�½ �½
1
L
L
L
Otrzymany wynik nie jest zależny od X, dlatego warunek jest spełniony dla wszystkich punktów elementu.
-Dowolna funkcja kształtu równa jeden w odpowiednim jej węźle i równa zeru w pozostałych węzłach tego
elementu.
-Na granicach pomiędzy elementami funkcji kształtu są ciągłe.
4.
Simpleks-element dwuwymiarowy, jego funkcji kształtu.
Simpleks-element dwuwymiarowy to trójkąt z trzema węzłami dla aproksymacji pola temperatury (lub innej
funkcji). Rozpatrzmy numerację węzłów w kierunku przeciwnym do strzałki zegara i oznaczymy je jako i, j, k.
Wartości współczynników a
1
, a
3
, a
3
otrzymamy wychodząc z warunków w węzłach elementu:
Przy X = X
i
, Y = Y
i
t = t
i
→ t
i
= a
1
+ a
2
X
i
+ a
3
Y
i
Przy X = X
j
, Y = Y
j
t = t
j
→ t
j
= a
1
+ a
2
X
j
+ a
3
Y
j
Przy X = X
k
, Y = Y
k
t = t
k
→ t
k
= a
1
+ a
2
X
k
+ a
3
Y
k
Co daje układ równań :
Gdzie A – pole elementu skończonego
1
[(
X
j
Y
k
X
k
Y
j
)
t
i
(
X
k
Y
i
X
i
Y
k
)
t
j
(
X
i
Y
j
X
j
Y
i
)
t
k
]
2
A
1
a
2
�½
[(
Y
j
Y
k
)
t
i
(
Y
k
Y
i
)
t
j
(
Y
i
Y
j
)
t
k
]
2
A
1
a
3
�½
[(
X
k
X
j
)
t
i
(
X
i
X
k
)
t
j
(
X
j
X
i
)
t
k
]
2
A
a
1
�½
1
X
i
Y
i
Y
j
�½
X
j
Y
k
X
i
Y
j
X
k
Y
i
X
j
Y
i
X
k
Y
j
X
i
Y
k
Y
k
2
A
�½
1
X
j
1
X
k
Funkcja kształtu
t
�½
t
i
N
i
t
j
N
j
t
k
N
k
�½
{N }
T
{t}
N
i
�½
1
(
a
i
b
i
X
c
i
Y
)
2
A
1
N
j
�½
(
a
j
b
j
X
c
j
Y
)
2
A
1
N
k
�½
(
a
k
b
k
X
c
k
Y
)
2
A
a
i
�½
X
j
Y
k
X
k
Y
j
a
j
�½
X
k
Y
i
X
i
Y
k
a
k
�½
X
i
Y
j
X
j
Y
i
b
i
�½
Y
j
Y
k
b
j
�½
Y
k
Y
i
b
k
�½
Y
i
Y
j
c
i
�½
X
k
X
j
c
j
�½
X
i
X
k
c
k
�½
X
j
X
i
5.
Elementy wyższego stopnia. Idea wykorzystania przekształcenia układu współrzędnych.
Coś nie mogłem tego namierzyć
6.
L- współrzędne. (współrzędne naturalne)
Dla elementów trójkątnych często jest używany tzw. naturalny układ
współrzędnych (L-współrzędne), który wyznaczony jest przez trzy
względne współrzędne.
Każda współrzędna naturalna stanowi stosunek odległości wybranego
punktu elementu do jednej z jego stron s do wysokości h.
7.
Całkowanie numeryczne w MES.
Operacji otrzymania układu równania MES są związane z całkowaniem po objętości elementów. Ponieważ
forma strefy całkowania oraz całkowany wzór są skomplikowane, całkowanie numeryczne prawie zawsze
nie może być zastosowano. Jeżeli wykorzystano przekształcenie układu współrzędnych, sprawą komplikuje
pomnożenie całkowanego wzoru na wyznacznik matrycy Jacobiego. Opisane problemy powodują, że w MES
jest używane całkowanie numeryczne, przy którym całka zamieniana jest na kwadraturę. Przy wyznaczeniu
takich kwadratur w jedno-, dwu- oraz trójwymiarowych zadaniach jest wykorzystywane sumowanie wartości
całkowanego wzoru, obliczonego w węzłach całkowania i pomnożenie ich przez odpowiednie wagowe
współczynniki :
1
1 1
f
(
)
d
W
1
o
f
(
0
)
W
1
f
(
1
)
...
W
n
f
(
n
)
f
(
0
,
0
)
W
1
f
(
1
,
1
)
...
W
n
f
(
n
,
n
)
,
1
1
 
f
(
,
)
d
W
o
zazwyczaj są wybierane w równej odległości między sobą, W to ich wagi
Tutaj jeszcze można opisać oba sposoby rozwiązywania (Newtona-Kotesa, Gaussa) ale czy trzeba ?????
8.
Sformułowanie zadania brzegowego wyznaczenia pola temperatury.
Funkcja t(x, y, z) musi spełniać określone warunki brzegowe na powierzchni metalu :
- na powierzchni metalu zadana jest temperatura t
- na powierzchni metalu zadany jest strumień cieplny q, według prawa konwekcji :
k
(
t
)(
t
t
t
4
a
x
a
y
a
z
)
�½
rad
(
t
4
t
)
x
y
z
Bezpośrednie wprowadzenie warunków brzegowych do funkcjonału nie jest możliwe. W praktyce narzuca się
ten warunek poprzez dodanie do funkcjonału całki :
a
2
2 (
t
t
)
dS
qtdS
S
S
9.
S – powierzchnia na której zadane są warunki brzegowe
Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie za pomocą MES.
Warunki brzegowe:
Podstawowe równanie
d
2
t
dt
k
2
�½
0
k
a
(
t
t
)
�½
0
przy X = L
dx
dx
dt
przy X = 0
k
q
�½
0
dx
2
1
  
t
 
a
J
�½
k
  
dV
(
t
t
)
2
dS
qtdS
2
  
x
 
2
V
S
S
Rozpisać t, a następnie N (zadanie 2. pierwsze 3 wzory od lewej w pierwszym rzędzie funkcja kształtu)
Tyle chyba wystarczy, NIE JESTEM PEWNY!
10. Symulacja ustalonych procesów cieplnych za pomocą MES. Ogólne zasady.
Zjawiska cieplne zachodzące w stanie ustalonym opisuje równanie Fouriera w postaci :
 
t
  
t
  
t
k
x
(
t
)
  
k
y
(
t
)
  
k
z
(
t
)
 
Q
�½
0
x
x
 
y
y
 
z
z
Zadanie rozwiązania równania Fouriera sprowadza się do poszukiwania minimum funkcjonału :
k
(
t
)
  
t
2
 
t
2
 
t
2
          
Qt
dV
a
(
t
t
)
dS
qtdS
J
�½
2
2
  
x
  
y
  
z
 
 
V
S
S
Można jeszcze rzucić słowo o minimalizacji funkcjonału
11. Symulacja nieustalonych procesów cieplnych za pomocą MES. Ogólne zasady.
Równanie Fouriera dla procesu niestacjonarnego ma postać :
 
t
  
t
  
t
 
t
k
x
(
t
)
  
k
y
(
t
)
  
k
z
(
t
)
  
Q
c
eff
�½
0
x
x
 
y
y
 
z
z
 
W określonej chwili czasu pochodne temperatury mogą być traktowane jako funkcje tylko współrzędnych x, y, z
Wtedy rozwiązanie równania Fouriera jest prowadzone analogicznie jak dla procesu stacjonarnego, przyjmując
całe wyrażenie w nawiasie (Q – c…) jako parametr Q’.
t={N}
T
{t} podstawiamy to zamiast ostatniego t w liczniku…
Q
'
�½
Q
c
eff
t
�½
Q
c
eff
{
t
}{
N
}
T
12. Zagadnienie wyznaczenia nieustalonego pola temperatury we wsadzie o przekroju okrągłym.
Nie wiem które informacje są najważniejsze… za dużo tego gówna… slajd 34 w wykładach
13. Podstawowe równania teorii sprężysto - plastycznych odkształceń.
Założenia :
- wartości odkształceń sprężystych i plastycznych są bliskie
- odkształcenie objętościowe jest sprężyste
- obciążenie jest monotoniczne i proste
- wartości odkształceń są małe
Do każdego z podpunktów dochodzą rozwinięcia, dla a i c nie kapuje ocb i dlatego też ich nie wypisałem.
Ale wydaje mi się że nie trzeba tego rozpisywać
a) zależność między przemieszczeniami metalu i odkształceniami
ij
�½
(
u
i
,
j
u
j
,
i
)
do tego podchodzą równania Stoksa i Causziego, których nie rozumiem
b) Równania równowagi :
1
2
ij
,
j
�½
0
rozwiniecie :
P
i
x
i
dV
�½
P
i
i
dS
V
S
V
x
ij
j
dV
�½
ij
i
dS
S
F
i
�½
ij
,
j
�½
ij
x
j
�½
div
(
ij
)
�½
0
xx
xy
xz
g
x
�½
0
x
y
z
powstawiać y z)
analogicznie dla y i z (w liczniku zamiast pierwszego x, oraz przy g,
c) Zależności między odkształceniami i naprężeniami :
ij
�½
ij
k
0
2
Ge
ij
ij
�½
0
ij
e
ij
E
tutaj też jest rozwinięcie którego nie kapuje
k
�½
E
�½
i
1 2
i
14. Podstawy teorii plastycznego płynięcia.
a) Zależność między prędkościami płynięcia metalu a prędkościami odkształceń :
ij
�½
(
i , j
j ,i
)
b) równania równowagi
1
2
ij, j
�½
0
c) zależności między prędkościami odkształceń i naprężeniami
ij
�½
ij
0
2
3
i
ij
d) warunek stałej objętości :
0
�½
0
0
�½
div
 �½
0
 
15. Sformułowanie zadania teorii plastycznego płynięcia za pomocą metody wariacyjnej.
Funkcjonał jest określony, jeżeli każdej funkcji pewnej klasy odpowiada określona liczba.
Funkcjonał jest funkcją, której role zmiennej niezależnej spełniają krzywe albo funkcje.
W modelowaniu procesów plastycznej przeróbki metali, energię odkształcenia plastycznego można traktować
jako funkcjonał zależny od składowych przemieszczenia metalu
u
x
(
x
,
y
,
z
)
u
y
(
x
,
y
,
z
)
u
z
(
x
,
y
,
z
)
Zadaniem rachunku wariacyjnego jest określenie funkcji (ux uy uz), dla jakich funkcjonał (czyli energia
odkształcenia plastycznego) osiąga minimum
Zalety :
- mniejszy stopień pochodnych w sformułowaniu zadania brzegowego
- zamiast dużej ilości równań (15-16) tylko jedno (funkcjonał)
- wygodne zadanie warunków brzegowych
Wady:
- konieczność rozwiązania zadania wariacyjnego (znalezienie minimum funkcjonału)
Nie wiem czy trzeba wypisać funkcjonał, ale szczerze to nie wydaje mi się bo tego jest od cholery.
16. Metoda Ritza.
Służy do rozwiązania zadania wariacyjnego. Sprowadza się do założenia postaci funkcji opisujących składowe
pola prędkości.
Podstawowy mankament metody to trudność w określeniu granicy strefy plastycznej w przypadku procesów o
dużej nierównomierności odkształcenia.
Jeżeli zastosuje się podział na większą ilość elementów i opisze pole prędkości wielomianami niższego stopnia,
to trudności te mogą zostać wyeliminowane.
Najwygodniej jest założyć, że funkcje te są wielomianami :
x
�½
a
0
a
1
x
a
2
y
a
3
z
a
4
x
2
...
y
�½
b
0
b
1
x
b
2
y
b
3
z
b
4
x
2
...
z
�½
c
0
c
1
x
c
2
y
c
3
z
c
4
x
2
...
Wartości a, b, c wyznacza się szukając minimum mocy odkształcenia, uwzględniając że pole prędkości musi
spełniać warunki brzegowe na obwiedni strefy odkształcenia.
Sprowadza się to do wyeliminowania części parametrów wariacyjnych poprzez warunki brzegowe, a następnie
do rozwiązania układu równań powstałego przez różniczkowanie funkcjonału mocy względem pozostałych
parametrów wariacyjnych.
J
�½
0
a
i
J
�½
0
b
i
J
�½
0
c
i
dla i = 1…n
Obie powyższe rzeczy to układ równań (spięte klamrą)
20. Równania MES dla teorii sprężystości w formie macierzowej. Odkształcenie płaskie.
x
�½
�½ 
y
 �½
[
L
]{
u
}
�½
2
xy
x
[
L
]
�½
0
y
0
y
x
u
x
u
�½
�½  
 �½
u
y
 
2
xy
�½
u
x
u
y
y
x
�½
�½
D

�½
D

0
t
�½
�½
D

0
t

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin