Zbiory liczbowe i funkcje.pdf

(8605 KB) Pobierz
Zbiory liczbowe i funkcje
Matematyka 1, MiBM, 2014/2015
dr Krzysztof Żyjewski
Wydział Matematyki I Informatyki UWM
9 grudnia 2014
Przedziały
Niech
a, b
∈
R
oraz
a
<
b.
Wówczas określamy:
[a,
b]
:=
{x ∈
R
:
a
≤
x
≤
b}
-przedział
domknięty;
(a,
b)
:=
{x ∈
R
:
a
<
x
<
b}
-przedział
otwarty;
[a,
b)
:=
{x ∈
R
:
a
≤
x
<
b}
-przedział
prawostronnie otwarty
(lub
lewostronnie domknięty);
(a,
b]
:=
{x ∈
R
:
a
<
x
≤
b}
-przedział
lewostronnie otwarty
(lub
prawostronnie domknięty);
(a,
∞)
:=
{x ∈
R
:
a
<
x}
-przedział
prawostronnie nieskończony;
(∞,
b)
:=
{x ∈
R
:
a
<
x}
-przedział
lewostronnie nieskończony.
dr Krzysztof Żyjewski (WMiI UWM)
Zbiory liczbowe i funkcje
9 grudnia 2014
2 / 36
Zbiory ograniczone
Definicja.
Liczbę
m
nazywamy
ograniczeniem dolnym zbioru
X
⊆
R,
gdy
∀
x∈X
x
≥
m.
Definicja.
Liczbę
M
nazywamy
ograniczeniem górnym zbioru
X
⊆
R,
gdy
∀
x∈X
x
≤
M.
Zbiór jest ograniczony z dołu (z góry) gdy posiada ograniczenie dolne (górne).
Zbiór ograniczony zarówno z góry jak i z dołu nazywamy
zbiorem ograniczonym.
Przykład.
Rozważmy zbiory:
A
= (−∞,
4];
B
= (2,
8);
C
=
{−3,
2, 1,
π} .
Zbiór
A
nie jest ograniczony z dołu przez żadną liczbę rzeczywistą. Jest on
12
natopmiast ograniczony z góry np. przez liczby 100, 8, 4
2013
oraz 4.
Zbiór
B
jest ograniczony z dołu np. przez liczby rzeczywiste:
−3,
0, 2. Jest on
również ograniczony z góry np. przez liczby 100, 8, 0001 oraz 8. Zatem jest to
zgiór ograniczony.
Zbiór
C
jest ograniczony z dołu np. przez liczby rzeczywiste:
−100, −7, −3.
Jest
1
on również ograniczony z góry np. przez liczby 100, 3
2
oraz
π.
dr Krzysztof Żyjewski (WMiI UWM)
Zbiory liczbowe i funkcje
9 grudnia 2014
3 / 36
Elementy min. i max. zbioru
Definicja.
Liczba
a
jest
największym elementem zbioru
X
⊆
R
wtedy i tylko
wtedy gdy
a
∈
X
oraz
∀
x∈X
x
≤
a.
Zapisujemy wówczas
a
=
max
X
.
Definicja.
Liczba
b
jest
najmniejszym elementem zbioru
X
⊆
R
wtedy i tylko
wtedy gdy
b
∈
X
oraz
∀
x∈X
x
≥
b.
Zapisujemy wówczas
b
=
min
X
.
Przykład.
Rozważmy zbiory:
A
= (−∞,
4];
B
= (2,
8);
C
=
{−3,
2, 1,
π} .
Zbiór
A
nie posiada elementu najmniejszego. Posiada natomiast element
największy, jest nim: max
A
=
4.
Zbiór
B
nie posiada elementu najmniejszego jak również i największego.
Zbiór
C
posiada elementu najmniejszy, jest nim min
C
=
−3.
Posiada również
element największy, jest nim: max
C
=
π.
dr Krzysztof Żyjewski (WMiI UWM)
Zbiory liczbowe i funkcje
9 grudnia 2014
4 / 36
Kresy zbiorów
Definicja.
Liczbę
a
nazywamy
kresem dolnym zbioru
X
⊆
R
jeśli jest jego
największym ograniczeniem dolnym, tzn.
∀
x∈X
a
≤
x
oraz
∀
ε>0
∃
x
0
∈X
x
0
<
a
+
ε.
Definicja.
Liczbę
b
nazywamy
kresem górnym
zbioru
X
⊆
R
jeśli jest jego
najmniejszym ograniczeniem górnym, tzn.
∀
x∈X
x
≤
b
oraz
∀
ε>0
∃
x
0
∈X
x
0
>
b
−
ε.
Kres dolny zbioru
X
oznaczamy jako
inf
X
(czyt. infimum zbioru
X
), a kres górny
jako
sup
X
(czyt. supremum zbioru
X
). W przypadku gdy zbiór nie jest
ograniczony z dołu (z góry) piszemy, że inf
X
=
−∞
(sup
X
=
∞).
Uwaga.
(aksjomat ciągłości) Każdy niepusty zbiór ograniczony z dołu ma kres
dolny, a ograniczony z góry ma kres górny.
Przykład.
Rozważmy zbiory:
A
= (−∞,
4];
Wówczas:
inf
A
=
−∞,
inf
B
=
2,
inf
C
=
−3,
B
= (2,
8);
sup
A
=
4;
sup
B
=
8;
sup
C
=
π.
Zbiory liczbowe i funkcje
9 grudnia 2014
5 / 36
C
=
{−3,
2, 1,
π} .
dr Krzysztof Żyjewski (WMiI UWM)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin