z9.pdf

(68 KB) Pobierz
WSTĘP DO TEORII LICZB – ZADANIA
Zestaw nr.9: Kongruencje, podzielność – różne problemy;
przedstawianie liczby jako sumy dwóch kwadratów
Zad.1
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej
n
zachodzi związek:
n
13
≡
n
(mod 2730).
Zad.2
Liczby naturalne
n
+ 1 i 2n + 1 są kwadratami liczb naturalnych. Pokaż, że 24
|
n.
Zad.3
Niech
x
i
y
będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Udowodnij, że każdy naturalny
dzielnik liczby
x
2
+
y
2
można zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Zad.4
Pokaż, że jeżeli
p
jest liczbą pierwszą nieparzystą to zachodzi kongruencja:
2(p
−
3)!
≡ −1
(mod
p).
Wsk. Zastosuj twierdzenie Wilsona.
Zad.5
Posługując się rachunkiem kongruencji wykaż, że równania diofantyczne nie posiadają rozwiązań:
a)
x
3
+ 7 =
y
2
b)
x
2
+ 37 =
y
11
c)
x
3
−
9 =
y
2
d)
x
2
−
71 =
y
7
.
Wskazówka: rozważ różne scenariusze (nie)parzystości
x
i
y.
Mamy twierdzenie: jeżeli liczba
może być przedstawiona jako suma kwadratów (dwóch!) to jej nieparzysty dzielnik pierwszy
może mieć postać 4k + 1, a nie może mieć postaci 4k + 3.
Zad.6
Pokaż, że dla każdego
n
liczba 3
6n
−
2
6n
jest podzielna przez 35.
Zad.7
Znajdź wszystkie
n >
1, dla których zachodzi (n
−
1)! + 1 =
n
2
.
Wsk. Tylko dla
n
= 5 (sprawdź). Dla
n
= 2, 3, 4 ta równość nie zachodzi , a dla
n
= 6 mamy
n
2
>
6n
−
4 i podobnie dla
n >
6 (indukcja – sprawdź). Stąd . . .
Zad.8
Udowodnij twierdzenie Liouville’a: równanie
(p
−
1)! + 1 =
p
m
nie ma rozwiązania dla
p >
5 i dla
m >
0.
Wsk.: dowód metodą nie wprost. Dla
p >
5 mamy 2
<
(p
−
1)
2
= 2
gdyby zachodziła teza, to mielibyśmy . . .
Zad.9
Euler (1739) wykazał, ze
F
5
= 2
32
+ 1 = 641
·
6 700 417. Przy okazji udowodnił, że każdy
ewentualny dzielnik pierwszy (!) liczby Fermata
F
t
musi mieć postać
p
= 2
t+2
k
+ 1;
k
∈
N.
Wykaż to i Ty. (zadanie trudnawe, ale można go znaleźć praktycznie wszędzie).
(n.b. Jest to zresztą szczególny przypadek nieco szerszego twierdzenia: Jeżeli
a
jest naturalną
liczbą parzystą,
n
∈
N
a
p
liczbą pierwszą
n
i zachodzi
p
|
a
2
+ 1 to
p
= 2
n+1
k
+ 1,
k
∈
N.)
Zad.10
Udowodnij twierdzenie: jeżeli
n >
1,
n
∈
N,
to liczba Mersenne’a
M
n
nie może mieć postaci
M
n
=
k
m
, gdzie
m >
1,
m
∈
N.
p−1
2
< p
−
1 a także
p
−
1
(p
−
1)
|
(p
−
1)!
2
9-1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin