Cwicz-alg-grupy-2.pdf

(72 KB) Pobierz
Grupy – ćwiczenie 2
1.
W grupie
S
5
rozwiązać równanie:
1
5
2
2
3
1
4
4
5
3
x
=
1
3
2
5
3
1
4
2
5
4
.
2.
Wykazać, że
S
3
= (12), (13) .
3.
Podać wszystkie możliwe rzędy elementów grupy
S
4
i obliczyć liczbę permutacji
danego rzędu.
4.
Permutacje z zadania 1:
a) rozłożyć na iloczyn cykli rozłącznych;
b) przedstawić jako iloczyn transpozycji.
1 2 3 4 5 6 7 8
5.
Permutację
σ
=
przedstawić w postaci iloczynu
1 7 4 2 8 5 3 6
transpozycji. Czy permutacja
σ
jest parzysta?
6.
Znajdź wszystkie podgrupy grupy
S
4
. Znajdź zbiór
{σ ∈
S
4
:
σ(2)
= 2}.
7.
Znaleźć wszystkie możliwe rzędy elementów w grupach
S
4
i
A
4
.
8.
Obliczyć (a
1
, a
2
, . . . , a
n
)
−1
.
9.
Udowodnić, że jeśli permutacja
σ
jest iloczynem
m
cykli o długościach
k
1
, k
2
, . . . , k
m
),
to sgnσ = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
m
+
k
1
+
k
2
+
· · ·
+
k
m
jest parzysta.
1 2
... n
10.
Liczby
a
i
,
a
j
tworzą inwersję jeśli
i < j
i
a
i
> a
j
. W permutacji
a
1
a
2
. . . a
n
1
2
... n
jest
k
inwersji. Znaleźć liczbę inwersji w permutacji
.
a
n
a
n−1
. . . a
1
11.
Opisać klasy sprzężoności w grupie
S
5
. Określić liczebność każdej z klas.
12.
Obliczyć liczbę klas sprzężoności w grupie: a)
S
6
; b)
S
7
; c)
S
8
.
13.
Udowodnić twierdzenie:
Niech
H
będzie podgrupą grupy
G
oraz niech
g
1
, g
2
∈
G.
Następujące warunki są równoważne:
1)
g
1
H
=
g
2
H;
2)
g
1
H
⊂
g
2
H;
−1
−1
3)
Hg
1
=
Hg
2
;
−1
4)
g
1
g
2
∈
H;
5)
g
2
∈
g
1
H.
14.
Wyznaczyć warstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy
H:
a)
{1};
b)
{1,
17}; c)
{1,
13, 25}; d)
{1,
17, 19, 35}; e)
{1,
5, 13, 17, 25, 29}; f) Φ(36).
15.
Opisać warstwy grupy
C
względem jej podgrupy
R.
16.
Opisać warstwy grupy
C
∗
względem jej podgrupy
R
+
.
17.
Sprawdzić, że zbiór
O
n
obrotów
n-kąta
foremnego
F
jest dzielnikiem normalnym
grupy diedralnej
D
n
.
18.
Niech
H
będzie podgrupą grupy
G
i niech
g
∈
G.
Udowodnić, że zbiór
gHg
−1
:=
{ghg
−1
:
h
∈
H}
jest podgrupą grupy
G.
Zadanie domowe.
W.J.Gilbert, W.K.Nicholson,
Algebra współczesna z zastosowaniami:
4.5, 4.7, 4.9-10, 3.55-3.62

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin