Metody informatyczne 1 rok 2 sem. Zagadnienia do kolokwium.
1. Oscylator harmoniczny nietłumiony: a. równanie ruchu
b. rozwiązania: częstość i okres drgań
Kształt rozwiązań dla różnych warunków początkowych. Należy rozumieć, jakie to warunki.
2. Oscylator harmoniczny tłumiony
a. równanie ruchu
b. kształt rozwiązań dla tłumienia pod- i nad-krytycznego (wykresy)
c. zależność częstości drgań od współczynnika tłumienia b (dla m=1, k=1)
Jak widać, częstość drgań spada do zera, dla b=2 – to tłumienie krytyczne. Pojawia się, gdy .
3. Oscylator harmoniczny z wymuszeniem
b. zależność amplitudy drgań ustalonych od częstości siły wymuszającej.
Należy umieć opisać poniższy rysunek wskazując, jakie zmienne znajdują się na jego obu osiach:
c. zjawisko rezonansu (analiza wykresu). Należy umieć wskazać na powyższym rysunku częstotliwość rezonansową i rozumieć, jak częstotliwość ta zmienia się wraz ze wzrostem tłumienia.
4. Wahadło matematyczne nietłumione
b. typy rozwiązań. Należy umieć wskazać trajektorie odpowiadające oscylacjom i obrotom oraz zidentyfikować trajektorię, która oddziela te obszary od siebie (separatrysa).
c. zależność częstotliwości rozwiązań oscylacyjnych od amplitudy (wykres)
d. dyskusja zależności częstotliwości drgań wahadła od amplitudy5. Wahadło matematyczne z drgającym zawieszeniem
a. funkcje opisująca ruch zawieszenia, jego przyspieszenia oraz równanie ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z drgającym zawieszeniem:
b.
b. zjawisko stabilizacji metastabilnego położenia równowagi
6. Model skaczącej kulki
a. wyprowadzenie równań ruchu
Zakładamy, iż ruch powierzchni, na którą spada kulka, opisany jest funkcją:
Jej prędkość jest więc opisana funkcją:
Niech ti będzie momentem czasu, w którym zaszło i-te zderzenie.
Niech vi będzie prędkością kulki tuż po tym zderzeniu. Równanie
opisuje sytuację, w której po czasie kulka ponownie zderza się z płaszczyzną.
Jego rozwiązanie, a więc wyznaczenie wartości , pozwala na obliczenie momentu następnego zderzenia:
Pozostaje nam obliczenie prędkości kulki tuż po tym, a więc (i+1)-szym zderzeniu.
Kulka zbliża się do niego z prędkością (ponieważ wystartowała do skoku z prędkością vi i poruszała się przez czas ti z przyspieszeniem –g):
W układzie odniesienia związanym z płaszczyzną prędkość ta wynosi:
(odjęliśmy prędkość, z jaka porusza się płaszczyzna).
Tuż po zderzeniu prędkość kulki w układzie związanym z płaszczyzną wyniesie więc
Powrót do układu laboratoryjnego daje nam poszukiwaną prędkość kulki tuż po rozważanym zderzeniu:
(dodaliśmy prędkość płaszczyzny i uprościliśmy wynik).
Zbierając rozważane wzory dochodzimy do układu równań pozwalających z czasu, w jakim zachodzi i-te zderzenie, i prędkości kulki tuż po tym zderzeniu pozwala obliczyć moment następnego zderzenia i prędkość kulki tuż po jego zajściu:
b. periodyczne mody drgań.
Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, w którym okres skoków kulki T jest zgodny z okresem drgań płaszczyzny zderzeń.
Należy umieć opisać ten wykres, tzn. opisać osie, wskazać oba wykresy i okres drgań.
c. bifurkacje podwajające okres
Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, po pierwszej bifurkacji podwajającej okres: skok wyższy + skok niższy tworzą powtarzającą się parę skoków. Okres tego ruchu periodycznego wynosi 2T.
d. wykres diagramu bifurkacyjnego tzn. wykres fazy zderzeń w funkcji amplitudy drgań płaszczyzny zderzeń. Należy umieć wskazać punkty bifurkacji podwajających okres.
d. delta Feigenbauma: jej definicja i przybliżona wartość.
Należy umieć opisać ten wykres, tzn. wskazać zmienne na obu osiach i punkty bifurkacji, oraz podać definicję delty Feigenbauma:
Tymtyrymty93