lista3.pdf

(41 KB) Pobierz
ALGEBRA LINIOWA 2A. LISTA 3.
Przeksztaªcenia i macierze odwrotne.
Zaj¦cia 14 marca 2014 r.
wiczenia.
b
c
.
1
3
4
,
1
1
0
0
1. Sprawd¹, »e przeksztaªcenie liniowe zadane macierz¡
1
0
0
−a
1
0
−b
+
ac
−c
1
jest przeksztaªceniem odwrotnym do przeksztaª-
cenia zadanego macierz¡
1
0
0
1
0
0
a
1
0
2
1
0
0
0
1
Korzystaj¡c z tego faktu, bez dokonywania oddzielnych oblicze«, znajd¹ macierze
przeksztaªce« odwrotnych do przeksztaªce« zadanych macierzami:
(a)
(b)
1
0
0
−1
1
0
0
−1
,
1
(c)
1
0
0
1
1
0
0
0
,
1
(d)
1
0
0
a
1
0
0
c
.
1
2. Posªuguj¡c si¦ wzorem, oblicz macierze odwrotne do nast¦puj¡cych macierzy, a nast¦pnie sprawd¹ na podstawie denicji czy
s¡ one rzeczywi±cie odwrotne:
0
1
,
0
−1
0
−1
3. Dla jakich
t
∈
R
nast¦puj¡ca macierz jest odwracalna:
4. Rozwi¡» równanie
1
6
3
−1
0
2
2
x
1
−3
x
2
=
1
1
1
x
3
−2
−1 −2
1
−2
.
1
−1
1 3 0
0 1
,
(a)
2
1
t t
(b)
1
t
1
3
0
1
0
1
.
t
dwoma sposobami:
(a) rozwi¡zuj¡c ukªad równa« liniowych,
(b) mno»¡c obie strony równania lewostronnie przez macierz odwrotn¡ do macierzy
odwrotn¡ musisz najpierw wyliczy¢).
3×3
wyst¦puj¡cej w równaniu (t¦ macierz
5.
0
2
−3
Równolegªo±cian
R
jest zbudowany na wektorach
1
,
−1
oraz
0
. Oblicz obj¦to±¢ obrazu
T
(R)
tego
2
−1
0
równolegªo±cianu przez przeksztaªcenie liniowe
T
zadane macierz¡
m
z zadania 2, dwoma sposobami:
(a) wylicz na jakich wektorach zbudowany jest równolegªo±cian
T
(R)
a nast¦pnie oblicz obj¦to±¢ ze wzoru;
(b) skorzystaj z obliczenia obj¦to±ci równolegªo±cianu
R
oraz z tego jak zmienia si¦ obj¦to±¢ gur pod wpªywem przeksztaªcenia
T
.
Porównaj wyniki obu oblicze«. Czy s¡ jednakowe?
Zadania.
1. Uzasadnij bezpo±rednio z denicji, »e je±li macierz
2.
−1 −1
2
1
−2
, nast¦puj¡cymi dwoma sposobami:
Nie korzystaj¡c z gotowego wzoru oblicz macierz odwrotn¡ do macierzy
2
−1
0
1
x y z
−1
p q r
i rozwi¡zuj¡c trzy ukªady równa« z trzema niewiadomymi powstaªe z
(a) przyjmuj¡c oznaczenie
m
=
s t u
1 0 0
−1
rozpisania równania
m
·
m
=
0 1 0
;
0 0 1
(b) znajduj¡c przeksztaªcenie odwrotne do przeksztaªcenia zadanego macierz¡
m
, poprzez rozwi¡zanie równania
x
1
y
1
m
·
x
2
=
y
2
ze wzgl¦du na niewiadome
x
1
, x
2
, x
3
(traktuj¡c
y
1
, y
2
, y
3
jako dane), i zapisuj¡c macierz tak
x
3
y
3
wyliczonego przeksztaªcenia odwrotnego.
Porównaj wyliczone tymi sposobami macierze odwrotne z macierz¡ wyliczon¡ ze wzoru na macierz odwrotn¡.
m
jest odwracalna, to posiada dokªadnie jedn¡ macierz odwrotn¡.
3. Rozwi¡» równanie macierzowe
−1
2
−1
−1
1
0
2
1
m
=
1
−2
1
0
przy czym
1
−1
0
0
0
,
0
gdzie
m
jest niewiadom¡ macierz¡ rozmiaru
3
×
3
.
Nie stosuj ukªadów równa« lecz posªu» si¦ macierz¡ odwrotn¡.
4.
T
i
S
s¡ przeksztaªceniami pewnego zbioru
Z
,
T
jest odwracalne, za±
S
nie jest.
Przypomnijmy, »e prze-
(a) Uzasadnij bezpo±rednio z denicji odwracalno±ci, »e zªo»enia
ksztaªcenie jest odwracalne, je±li jest ró»nowarto±ciowe i na.
(b) Dla przypadku gdy przeksztaªcenia
TS
oraz
ST
nie s¡ odwracalne.
T
i
S
s¡ przeksztaªceniami liniowymi
R
3
,
uzasadnij »e zªo»enia
TS
oraz
ST
s¡
−1
)=
5. Posªuguj¡c si¦ wzorem na wyznacznik iloczynu macierzy uzasadnij, »e (a) je±li
m
jest macierz¡ odwracaln¡, to
det(m
−1
1/ det(m)
; (b) je±li
p
jest macierz¡ odwracaln¡, to
det(p
·
m
·
p
) = det(m)
; (c) iloczyn macierzy odwracalnej z macierz¡
nieodwracalne posªuguj¡c si¦ macierzami tych przeksztaªce« oraz ich wyznacznikami.
nieodwracaln¡ jest macierz¡ nieodwracaln¡.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin