Temat: Drgania układu liniowego o dwóch stopniach swobody.
Cel ćwiczenia: Poznanie zachowania się układu mechanicznego, będącego częścią np. układu napędowego oraz interpretacja parametrów ruchu takiego układu.
Na schemacie przedstawiony jest układ wykonujący drgania skrętne. Dwa wały o sztywnościach na skręcanie odpowiednio połączone są przekładnią zębatą. Koła zębate maja odpowiednio średnice oraz momenty bezwładności . Do tarczy o momencie bezwładności przyłożony jest zewnętrzny moment skręcający .
2. Wiadomości teoretyczne.
2.1. Wyprowadzenie równań drgań układu z równań Lagrange’a II-ego rodzaju.
Energia kinetyczna układu:
(1)
Energia potencjalna układu:
(2)
Zależności kinematyczne:
(3)
Stąd mamy:
(4)
Energia kinetyczna i potencjalna układu przedstawia się teraz następująco:
(5)
5
Równanie Lagrange’a II rodzaju ma postać:
(6)
Do opisu ruchu układu wybraliśmy współrzędne uogólnione: oraz siły uogólnione: .
Wstawiając (5) do (6) otrzymujemy równanie drgań układu w postaci:
(7)
lub po przekształceniu:
(8)
Przyjmujemy proporcje dla parametrów układu:
Równania drgań swobodnych układu mają postać:
(9)
Równanie częstości drgań własnych:
(10)
(11)
Równania ruchu kół zębatych i tarczy, czyli:
(12)
Ruch ten jest ruchem poliharmonicznym.
Dla warunków początkowych:
(13)
Równanie ruchu (12) przyjmuje postać:
(14)
2.Wykonanie ćwiczenia.
Przyjmij następujące dane liczbowe:
gdzie ilość liter imienia, ilość liter nazwiska.
A) Oblicz wartości teoretyczne:
- częstości własne układu:
- odpowiadające im okresy:
B) - Przeprowadź symulację drgań układu:
przy następujących warunkach początkowych:
a)
Wówczas:
- Odczytaj z otrzymanego wykresu i wyznacz:
b)
C)
- Zaobserwuj przebiegi:
Wnioski:
- Odczytaj
Oblicz:
- maksymalny moment skręcenia wału pierwszego i drugiego:
- warunek wytrzymałościowy dla naprężeń stycznych w wale spowodowanych skręceniem wału momentem i :
gdzie: średnica wału
dopuszczalne naprężenie styczne
Dla wału pierwszego:
Dla wału drugiego:
5. Symulacja komputerowa rozwiązania równania drgań.
1. Wydaj polecenie simulink
2. Zbuduj następujący schemat:
3. Ustaw warunki początkowe: zgodne z podanymi w poleceniu (2)
(Integrator ; Integrator1 ; Integrator1 ; Integrator1 )
4. Ustaw parametry symulacji: Simulation/Parameters
Start time:0/Stop time: 1.5/Max step size: 0.0001/Min step size: auto
5. Załóż plik o nazwie: dane.m :
6. Uruchom plik wpisując: dane
7. Wydaj polecenie: whos
8. Uruchom symulację: Simulation/Start
9. Sprawdź jak powstały wykresy (kliknij na Scope)
5. Pytania kontrolne.
1. Co rozumiemy pod pojęciem układ o dwóch (trzech) stopniach swobody?
2. Jak określić częstość własną drgań układu?
3. Jak nazywa się ruch wykonywany przez daną masę układu?
4. Co to są warunki początkowe układu? Podaj przykład dla układu o trzech stopniach swobody.
5. Przedstaw rozkład naprężeń stycznych spowodowanych obciążeniem wału.
Opracował:
1. mgr Małgorzata Błasiak
2. mgr Barbara Chrząszcz
3. dr inż. Stanisław Wójcik
SUB