Liczby zespolone i wielomiany.pdf

(64 KB) Pobierz
Dzialania na liczbach w postaci trygonometrycznej
i
−
3
Obliczy´
c
1
−
i
√
√
z
1
=
i
−
3,
x
1
=
−
3,
y
1
= 1
→
√
cw.
II´
√
|z
1
|
= (− 3)
2
+ 1
2
= 2, cos
α
=
−
2 3
, sin
α
= 1/2
→
α
= 150
o
√
z
2
= 1
−
i x
2
= 1,
y
2
=
−1 |z
2
|
= 1
2
+ (−1)
2
= 2
1
−1
cos
β
=
√
2
, sin
β
=
√
2
→
β
=
−45
o
√
√
i−
3
2
=
√
2
= 2
1−i
γ
=
α
−√
= 195
o
β
|z
26
|
= ( 2)
26
δ
= 26
·
195
o
= 5070
o
= 13
·
360
o
+ 30
o
√
26
w
=
z
26
= ( 2) (cos 5070
o
+
i
sin 5070
o
) =,
√
√
3
1
13
o
o
13
12
2 (cos 30 +
i
sin 30 ) = 2
+
i
2
= 2
3 +
i2
12
2
√
26
Pierwiastki 4 stopnia z 1.
1
4
= 1,
i
4
= 1, (−1)
4
, (−i)
4
Pierwiastki 3 stopnia z 1.
0 =
z
3
−1√
(z
−1)(z
2
+z +1)
→
√
0
= 1∨z
2
+z +1 = 0
=
z
√
√
1
1
∆ =
−3,
∆ =
i
3,
z
1
=
−
2
+
i
23
,
z
2
=
−
2
−
i
23
,
4
√
√
x
=
−8,
y
= 8 3,
|w|
=
√
64 + 192 = 16,
cos
α
=
−1/2,
sin
α
=
−
2 3
→,
α
= 120
o
√
4
|z|
= 16 = 2,
√
k
= 0
β
0
= 30
o
z
0
= 2(cos 30
o
+
i
sin 30
o
) = 2(
23
+
i
1
) =
2
√
3+
i
√
o
o
o
k
= 1
β
0
= 150
z
1
= 2(cos 150 +
i
sin 150 ) =
−1
+
i
3
√
o
o
o
−
k
= 2
β
0
= 210
z
2
= 2(cos 210 +
i
sin 210 ) =
−
3
√
i
k
= 3
β
0
= 330
o
z
3
= 2(cos 330
o
+
i
sin 330
o
) = 1
−
i
3
√
3
2
−
2i
√
−8
+
i8
3
√
x
= 2,
√
=
−2 |w|
= 8
α
=
−45
o
y
√
3
|z|
= 8 = 2
k
= 0
β
0
=
−15
o
,
k
= 1
β
1
= 105
o
,
k
= 2
β
2
= 225
o
,
Sensownie licza sie funkcje trygonometryczne 225
o
√
−1
‘
1
‘
z
2
= 2
√
2
−
i
√
2
=
−1 −
i
pozostale rozwiazania znajdziemy mno˙ ac te liczbe przez
z
‘
‘ ‘
‘
pierwiastki 3 stopnia z 1,
√
√
√
z
3
=
z
0
= (−1
−
i)(−
1
+
i
√
3
) =
1+2
√
3
+
i
1−2
√
3
2
2
z
4
=
z
1
= (−1
−
i)(−
1
−
i
23
) =
1−2 3
+
i
1+2 3
2
Rozwiaza´ (z +
i)
4
= (1
−
i)
8
c
‘
Metoda: zgadna´ jeden pozostale obliczy´
c
c
‘
2
=
−2i
przy pomocy pierwiastk´w 4
z
+
i
= (1
−
i)
o
stopnia z 1 pozostale mo˙ liwo´´i:
z
+
i
=
−2i ·
i
= 2,
z
sc
z
+
i
=
−2i ·
(−1) = 2i,
z
+
i
=
−2i ·
(−i) =
−2
z
0
=
−3i,
z
1
= 2
−
i, z
2
=
i, z
3
=
−2 −
i.
Dzialania na liczbach w postaci wykladniczej
Rozwiaza´
z
3
=
−16z
c
‘
z
=
re
iα
→
r
3
e
i3α
= 16re
−iα
e
iπ
→
r
3
= 16r, 3α =
−α
+
π
+
k2π
r
=0
→
z
=0
r
= 4 i 4α =
π
√
k2π
→
α
k
=
π
+
√
π
dla
k
= 0, 1, 2, 3
+
√
√
4
k
2
z
0
= 2
√
+
i2
2,
z
1
=
−2 √
2 +
i2
√
2,
2
√
z
2
=
−2
2
−
i2
2,
z
3
= 2 2
−
i2
2.
Wyznaczy´ i narysowa´ w ukladzie wsp´lrzednych
OXY
c
c
o
‘
5
4
zbi´r
z
∈
:
z
=
|z|
z
.
o
z
=
re
iα
→
r
5
e
i5α
=
r
4
·
re
−iα
→
r
5
=
r
5
, 5α =
−α
+
k2π
→
6α =
k2π
→
α
k
=
k
π
dla
k
= 0, 1, 2, 3, 4, 5
3
P´lproste wychodzace z poczatku wsp´lrzednych dla kat´w
o
o
o
‘
‘
o
o
o
o
‘
o
o
‘
0 , 60 , 120 , 180 , 240 , 300
Y
120
o
60
o
X
180
o
0
o
240
o
300
o
Pierwiastek kwadratowy
Y
z
z
+
|z|
X
O
|z|
Rozwiaza´ r´wnanie kwadratowe
z
2
+(1+2i)z+1+7i = 0.
c o
‘
∆ = (1 + 2i)
2
−
4
·
1
·
(1 + 7i) =
−7 −
24i
|∆|
= (−7)
2
+ (−24)
2
= 25
∆ +
|∆|
= 18
−
24i
|∆
+
|∆||
= (18)
2
+ (−24)
2
= 30
√
√
18−24i
∆ = 25
30
= 3
−
4i
z
1
=
−1−2i−(3−4i)
=
−2
+
i, z
2
=
−1−2i+(3−4i)
= 1
−
3i,
2
2
Rozwiaza´ r´wnanie dwukwadratowe
z
4
−
2z
2
+ 16 = 0.
c o
‘
√
√
2
2
t
−2t+16
= 0, ∆ = 4−64 =
−60
= 60i , ∆ = 2 15i
√
√
t
1
= 1
−
15i,
t
2
= 1 +
√
15i,
√
|t
1
|
= 4,
t
1
√
|t
1
|
= 5
−
15i
|t
1
+
|t
1
||
= 40
→,
+
√
5− 15i
√
10−i
√
6
z
1
= 4
√
40
=
2
z
2
=
−z
1
=
−
10+i 6
√
2
√
|t
2
|
= 4,
t
2
√
|t
2
|
= 5 +
√
15i
|t
2
+
|t
2
||
= 40
+
√
5+ 15i
√
10+i 6
z
3
= 4
√
40
=
2
z
4
=
−z
3
=
−
10−i 6
2
√
√
√
√
Wielomiany i funkcje wymierne
TWIERDZENIE Bezout’a
Pierwiastki Wielokrotne
Z1. Wyznaczy´ reszte z dzielenia wielomianu
c
‘
2012
2011
w(z)
=
z
+ 2z
+
iz
5
przez
z
2
+ 1.
w(z)
=
P
(z)(z
2
+ 1) +
az
+
b
gdzie
a, b
∈
C
w(i)
= 1
−
2i
−
1,
w(−i)
= 1 + 2i + 1
ai
+
b
=
−2i
−ai
+
b
= 2 + 2i
b
= 1,
ai
=
−1 −
2i
→
a
=
−2
+
i
´
ODPOWIEDZ
R(z)
= (−2 +
i)z
+ 1.
PIERWIASTKI CALKOWITE - Zgadywanie i sprawdzanie.
Z2. Wyznaczy´ pierwiastki
A(z)
=
z
3
−
3z + 2.
c
Podzielniki wyrazu wolnego to -1,1,-2,2.
A(−1)
=
−1
+ 3 + 2 = 4,
A(1)
= 1
−
3 + 2 = 0,
A(2)
= 8
−
6 + 2 = 4,
A(−2)
=
−8
+ 6 + 2 = 0
(x
−
1)(x + 2) =
x
2
+
x
−
2
A(x)
:
x
2
+
x
−
2 =
x
−
1
´
ODPOWIEDZ
x
1
=
−2
pierwiastek pojedy´czy,
x
2,3
= 1
n
pierwiastek podw´jny.
o

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin