Liczbyz espolone.pdf

(84 KB) Pobierz
Liczby zespolone
Dotychczas poznane zbiory liczbowe.
Chcemy rozszerzy´ zbi´r liczb rzeczywistych, tak by r´wnanie
c o
o
x
2
+ 1 = 0 mialo rozwiazanie.
‘
Cena - rezygnacja z nier´wno´ci zgadzajacej sie z dzialaniami.
o
s
‘
‘
Na osi liczbowej nie ma ju˙ wolnego miejsca.
z
Wychodzimy poza o´, na plaszczyzne. Liczby znane do
s
tej pory czyli liczby rzeczywiste le˙ a na osi
OX.
z ‘
‘
Y
y
·········································
z
= (x,
y)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
X
·
·
O
x
Dodawanie regula r´wnolegloboku
o
z
+
w
···········
··
·····
····
·····
···
··
z
···
····
··
····
·
····
Y
X
O
w
Posta´ trygonometryczna
c
Y
y
·········································
z
= (x,
y)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
|z|
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
α
X
·
·
O
x
Mno˙ enie regula kata
z
‘
Y
z
w
|w|
β
α
+
β
|z|
α
O
X
|z||w|
zw
Kolejne potegi
i
‘
r
i
2
O
Y
i
r
r
1
X
i
4
i
3
r
Sprzezenie
˙
‘
Y
y
·········································
z
·
·
·
·
·
·
·
·
·
|z|
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
X
·
α
·
·
·
−α
·
O
x
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
|z|
·
·
·
·
·
·
·
·
·
−y ·········································
z
Dzialania na liczbach w postaci algebraicznej
1
−
i
=1+
i
(−3 + 5i)(1 +
i)
=
−3 −
3i + 5i + 5i
2
=
−8
+ 2i
Rozwiaza´
3z−7i
=
14−2iz
c
2−i
−3+i
‘
(3z
−
7i)(−3 +
i)
= (2
−
i)(14
−
2iz)
→
−9z
+ 3iz + 21i
−
7i
2
= 28
−
4iz
−
14i + 2i
2
z
→
−7z
+ 7iz = 21
−
35i
→
(1
−
i)z
=
−3
+ 5i
→
z
=
−3+5i
=
−3+5i
1+i
=
−8+2i
=
−4
+
i
1−i
1−i 1+i
1
2
−i
2
Rozwiaza´
z
2
+ 6z + 13 = 0
c
∆ = 6
2
‘
−
4
· √·
13 = 36
−
52 =
−16
1
∆ = 16i
2
→
∆ = 4i
z
1
=
−6−4i
=
−3 −
2i,
z
2
=
−6+4i
=
−3
+ 2i
2
2
Rysowanie zbior´w liczb zespolonych
o
Wyznaczy´ i narysowa´ w ukladzie wsp´lrzednych
OXY
c
c
o
‘
zbi´r
{z ∈
:
|z
+ 3
−
3i| =
|z −
5 +
i|}.
o
Spos´b rachunkowy
z
=
x
+
iy,
o
z
+ 3
−
3i = (x + 3) +
i(y
−
3),
|z
+ 3
−
3i| = (x + 3)
2
+ (y
−
3)
2
z
−
5 +
i
= (x
−
5) +
i(y
+ 1),
|z −
5 +
i|
= (x
−
5)
2
+ (y + 1)
2
L
=
P
→
L
2
=
P
2
→
(x + 3)
2
+ (y
−
3)
2
= (x
−
5)
2
+ (y + 1)
2
→
x
2
+ 6x + 9 +
y
2
−
6y + 9 =
x
2
−
10x + 25 +
y
2
+ 2y + 1
→
16x
−
8y
−
8 = 0
→
y
= 2x
−
1
Prosta o r´wnaniu
y
= 2x
−
1
o
Y
−3
+ 3i
·
··· ·
·····
·····
·····
·····
·····
·····
·····
·····
·····
·····
·····
X
·····
·····
O
·····
·····
5
−
i
Wyznaczy´ i narysowa´ w ukladzie
OXY
zbi´r
c
c
o
{z ∈
: 45
o
<
arg(z
−
3 + 2i) 180
o
∧
1
|z −
3 + 2i|
<
2}.
Warunek arg(z
−
z
o
) =
α
spelniaja punkty le˙ ace na
z
p´lprostej wychodzacej z punktu
z
o
‘tworzacej ka‘t
α
z
o
‘
‘
‘
dodatnim zwrotem osi
OX,
Nier´wno´´ 45
o
<
arg(z-3+2i) 180
o
opisuje kat kt´rego
o
sc
o
ramiona wychodza z punktu
S(3,
−2).
Punkty ‘le˙ ace na
z
‘
p´lprostej dla 45
o
nie nale˙ a, natomiast punkty le˙ ace na
o
z
z‘
‘
p´lprostej dla 180
o
nale˙ a. ‘
o
z
‘
Geometrycznie :
|z −
w|
to odleglo´´ pomiedy punktami
sc
z
oraz
w.
Drugi warunek 1
|z −
(3
−
2i)| ‘
<
2 spelniaja
punkty odle/gle od 3
−
i
co najmniej o 1 ale mniej ni˙ 2.‘
z
Jest to pier´cie´ o ´rodku w
S(3,
−2)
promie´ wewnetrzny
s n s
n
‘
r
= 1, promie´ zewnetrzny
R
= 2.
n
‘
Punkty okregu wewnetrznego nale˙ a, za´ zewnetrznego
z
s
‘
‘
‘
‘
nie
1
|z −
(3
−
2i)|
<
5
Y
−2
.
.
'$
q
&%
3
. .
. .
.
.
X
45
o
<
arg(z-3+2i) 180
o
. . . .
Y
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . 3. .
X
. . . . . . . .
. . . .
−2
. .
.
Y
q
−2
.
'$
q
&%
3
. .
X

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin