7_zmienna_losowa_dwuwymiarowa.pdf

(484 KB) Pobierz
ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA
Dwuwymiarową zmienną losową nazywamy uporządkowaną parę (X,Y) zmiennych losowych X i Y, dla której
równoczesnemu zajściu nierówności X<x i Y<y odpowiada prawdopodobieostwo P(X<x,Y<y).
ZMIENNA DYSKRETNA
Funkcja prawdopodobieostwa
P X
�½
x
i
,
Y
�½
y
j
�½
p
ij
ZMIENNA CIĄGŁA
Funkcja gęstości
f
x
,
y
0
Warunek unormowania:
Warunek unormowania:



p
ij
�½
1
i
j
 
f
x
,
y
dx dy
�½
1
 
f
s
,
t
ds dt
x y
Dystrybuanta
F
x
,
y
�½
P
X
x
,
Y
y
�½
 
p
ij
x
i
x y
j
y
Dystrybuanta
F
x
,
y
�½

Rozkłady brzegowe
P
X
�½
x
i
�½
p
ij
j
Rozkłady brzegowe
f
1
x
�½


P
Y
�½
y
i
�½
p
ij
i
f
x
,
y
dy
f
2
y
�½


f
x
,
y
dx
Własności dystrybuanty:
F
 
,

�½
0
F
,
�½
1
F
 
,
y
�½
0
F
x
,

�½
0
MOMENTY ZMIENNEJ LOSOWEJ DWUWYMIAROWEJ
moment zwykły rzędu
k+l
zmienna dyskretna
zmienna ciągła
Zastosowanie momentów:
momenty zwykłe
m
10
- wartośd oczekiwana w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X
m
01
- wartośd oczekiwana w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej Y
m
kl
�½

x
ik
y
lj
p
ij
i

moment centralny rzędu
k+l
M
kl
�½

x
i
m
10
y
j
m
01
p
ij
k
l
i

j
j
m
kl
�½

 
x
k
y f
x
,
y
dx dy
l
M
kl
�½

k
l
 
x
m
10
 
y
m
01
f
x
,
y
dx dy
momenty centralne
M
20
- wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej X
M
02
- wariancja w rozkładzie brzegowym zmiennej losowej Y
momenty mieszane
M
11
- kowariancja zmiennych losowych X i Y
Podobnie jak dla jednowymiarowych zmiennych losowych, momenty centralne dowolnego rzędu można
wyrazid za pomocą momentów zwykłych, np. dla momentów rzędu drugiego zachodzi:
M
20
=m
20
-(m
10
)
2
M
02
=m
02
-(m
01
)
2
M
11
=m
11
-m
10
m
01
Współczynnik korelacji liniowej
�½
M
11
M
20
M
02
1
1
Współczynnik korelacji |ρ|=1 tylko wtedy, gdy zmienne losowe X i Y są związane zależnością liniową,
tzn. Y=aX+b
Współczynnik korelacji jest miarą współzależności liniowej zmiennych losowych X i Y
Jeżeli zmienne X i Y są niezależne, to kowariancja wynosi zero
Linie regresji
Liniami regresji nazywamy proste
y
�½
a
1
x
b
1
oraz
x
�½
a
2
y
b
2
wyznaczone metodą najmniejszych
kwadratów tzn. współczynniki
a
i
b
są tak dobrane, aby średnie odchylenie kwadratowe zmiennej Y od
zmiennej aX+b było jak najmniejsze:
E
Y
a
1
X
b
1
�½
min
2
E
X
a
2
Y
b
2
�½
min
2
Współczynniki prostych:
a
1
�½
a
2
�½
DY
DX
DX
DY
b
1
�½
EY
a
1
EX
b
2
�½
EX
a
2
EY
Współczynnik korelacji można oszacowad:
�½
a
1
a
2
ZADANIA
1. Rozkład zmiennej losowej dany jest w tablicy
X
Y
5
0
0,1
0,3
6
0
0,2
0,1
7
0,1
0,1
?
0
1
2
a) znaleźd rozkłady brzegowe
b) obliczyd kowariancję i współczynnik korelacji liniowej
c) wyznaczyd równania linii regresji i narysowad je na wspólnym wykresie

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin