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2
Contents
1 Preliminaries
1.1 Vector Spaces, Deal Spaces, and Scalar Products
. . . . . . . . . . . .
1.1.1 Vector Spaces and “kets”
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Dual Spaces and “Bras”
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Scalar Products
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Tensor Products of 2 Vector Spaces
. . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Linear Operators
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Products of Operators
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Matrix Representation of Operators
. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Hermitian and Unitary Operators
. . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Transformations (Unitary)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 The Eigenvalue Problem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Functions of Operators, Generalizations to Infinite Dimensions,
9
9
9
10
10
12
12
12
13
15
16
17
18
23
23
23
24
25
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27
27
29
29
30
33
33
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35
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39
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and More
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2 Classical Mechanics Review
2.1 Lagrange’s and Hamilton’s Formulations of Classical Theory
. . . . . . . . . .
2.1.1 Lagrangian
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Hamiltonian
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Cyclic Coordinates, Poisson Brackets, and Canonical Transformations
2.1.4 Symmetries
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Postulates of QM
3.1 Postulates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Compatability, Incompatibility and Uncertainty
. . . . . . . .
3.2.1 Compatible Variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Incompatible Variables and Uncertainty Relationships
3.3 Pure States and Mixtures: Density Matrices
. . . . . . . . . .
3.3.1 Density Matrix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Density Matrix of a Pure State
. . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Density Matrix of Mixed States
. . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Time Evolution of the Density Matrix
. . . . . . . . .
3.4 Schrodinger Equation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Solving the Schrodinger Equation
. . . . . . . . . . . .
3
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4
4 Simple Problems in 1 Dimension
4.1 Free Particle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Solving the Schrodinger Equation
. . . . . . . . . . .
4.1.2 Propagator for a Free Particle in the Position Basis
.
4.2 Particle in a Box
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Step Potentials: Reflection and Transmission
. . . . . . . .
4.4 Finite Square Well: Discrete Energies and Resonances
. . .
4.5 Square Potential Barrier and Tunneling
. . . . . . . . . . .
4.6 General Properties of 1-D Schrodinger Equation
. . . . . .
4.6.1 Asymptotic Behavior of Solutions
. . . . . . . . . . .
4.6.2 Nature of Energy Eigenvalues
. . . . . . . . . . . . .
5 Wave Packets
5.1 Plane Waves
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Wave Packets
. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Spacial Extent of Wave Packets
. . .
5.2.2 Motion of the Wave Packet
. . . . .
5.2.3 Delay of Wave Packets at Resonance
CONTENTS
41
41
41
42
44
46
49
59
59
60
60
63
63
64
65
69
70
73
73
77
77
82
83
83
84
85
93
93
95
95
97
99
100
102
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105
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6 Harmonic Oscillator and Second Quantization
6.1 Harmonic Oscillator in Position Representation
. . . . . . .
6.2 Second Quantization: Creation and Annihilation Operators
6.2.1 Harmonic Oscillator in Energy Eigenbasis
. . . . . .
6.2.2 Eigenfunctions in the Position Representation
. . . .
6.3 Coherent States: Minimum Uncertainty Wave Packets
. . .
6.3.1 Uncertainty Relations in Energy Eigenstates
. . . .
6.3.2 Minimum Uncertainty States
. . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Physical Meaning of the Coherent State
. . . . . . .
7 Systems with N Degrees of Freedom
7.1 Tensor Products (Direct Products)
. . . . . .
7.2 Identical Particles
. . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Symmetric and Anti-symmetric States:
7.2.2 Distinguishing Fermions and Bosons
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Bosons and Fermions
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8 Classical Limit and WKB Approximation
8.1 Ehrenfest’s Theorem
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Classical Limit and Wavepacket Spreading
. . . . . . . . . . .
8.3 Classical Limit of S-Eqn and WKB Approximation
. . . . . .
8.3.1 Quantum Mechanical Probability Current
. . . . . . .
8.3.2 Connect Probability Current in Classical Mechanics to
8.3.3 WKB Approximation
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Quantum Mechanics
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CONTENTS
9 Symmetries
9.1 Translations, Translational Invariance, and Cons. of Mom.
. . . . .
9.1.1 Active Translations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Passive Transformations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Translations For a Many Particle System
. . . . . . . . . .
9.2 Time Translational Invariance and Energy Conservation
. . . . .
9.3 Discrete Symmetries: Parity and Time Reversal
. . . . . . . . . .
9.3.1 Parity Invariance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Time-Reversal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Rotations, Rotational Invariance, and Cons. of Ang. Mom.
. . . .
9.4.1 Rotations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1.1 Rotations in 2D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1.2 Rotations in 3D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Eigenvalues of Angular Momentum
. . . . . . . . . . . . . .
ˆ
9.4.2.1 Eigenvalues of
L
z
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2.2 Solutions to Problems with Azimuthal Symmetry
ˆ
ˆ
9.4.2.3 Eigenvalues of
L
2
and
L
z
. . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Matrix Representation of Angular Momentum
. . . . . . .
ˆ
ˆ
9.4.3.1 Matrix Elements of
J
2
and
J
z
. . . . . . . . . . .
ˆ
ˆ
9.4.3.2 Matrix Elements of
J
x
and
J
y
. . . . . . . . . . .
9.4.4 Finite Rotations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
111
. 111
. 111
. 114
. 115
. 116
. 117
. 117
. 119
. 120
. 120
. 120
. 123
. 126
. 126
. 127
. 128
. 131
. 131
. 132
. 134
137
. 137
. 138
. 139
. 140
. 144
. 144
. 147
. 149
155
. 155
. 156
. 158
. 158
. 161
. 162
. 162
. 163
. 166
. 167
. 168
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10 Central Potential
10.1 Hamiltonian in Spherical Coordinates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Solution of Spherically Symmetric Schrodinger Equation
. . . . . . . . . . .
10.2.1 Solution of the Angular Part
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Solution to the Radial Part
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Examples: Free Particles and Central Square Well Potentials
. . . .
10.2.3.1 Free Particles and Spherical Bessel Functions
. . . . . . . .
10.2.3.2 Central Square Well
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3.3 The Coulomb Potential: Hydrogen and H-like Atoms (Ions)
11 Angular Momentum: Spin
11.1 Brief Review of Properties of Angular Momentum Operators
11.2 Spin: Evidence in Atomic Spectroscopy
. . . . . . . . . . . .
11.3 Spin Kinematics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Spin Operators, Spinors, and Eigenvalues
. . . . . . .
11.3.2 Pauli Spin Matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Rotations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Spin Dynamics
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
11.4.1 Spin
2
and the Bloch Sphere
. . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Rotations on the Bloch Sphere
. . . . . . . . . . . . .
11.5 Particles with Spin 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Rotations of a Vector Field
. . . . . . . . . . . . . . .
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