wykład 5 - Funkcje wielu zmiennych.pdf

(402 KB) Pobierz
Funkcje wielu zmiennych
Definicja.
Funkcją
n
zmiennych
nazywamy funkcję f
:
A
→
IR,
gdzie
A
jest podzbiorem przestrzeni
IR
n
.
W praktyce, gdy współrzędnych jest mniej (np. 2 czy 3) oznaczamy współrzędne różnymi literami, tak jak w
poprzednich przykładach. Na płaszczyźnie współrzędne oznaczamy zwykle
x
i
y,
w przestrzeni trójwymiarowej
x, y
i
z.
W zastosowaniach jedną ze zmiennych jest często czas. Przyjęło się go oznaczać literą
t.
PRZYKŁAD 1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji
z
�½
16
x
2
y
2
możemy wyciągać z liczb nieujemnych. Stąd dziedziną funkcji
f
jest
R O Z W I Ą Z A N I E.
Pierwiastek kwadratowy
zbiór
D
f
�½
(
x
,
y
)
IR
2
: 16
x
2
y
2
0
�½
Oznacza to, że
16
x
2
y
2
.
Wnioskujemy stąd, że dziedziną funkcji jest koło o promieniu 4 i środku w punkcie (0, 0) (rysunek 1.)
.
Rysunek 1. Dziedzina funkcji
z
�½
f
(
x
,
y
)
�½
16
x
2
y
2
.
Wykresem
funkcji
f
: IR
n
→
IR jest następujący zbiór:
G
�½
{(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
,
f
(
x
1
,
x
2
. . . ,
x
n
)) : (
x
1
,
x
2
. . . ,
x
n
)
D
f
}
Wykres funkcji jest podzbiorem przestrzeni IR
n
+1
. Jeśli
n
= 2, to wykres funkcji jest zawarty w przestrzeni
trójwymiarowej IR
3
. Opisujemy go zwykle w ten sposób, że dziedzinę funkcji umieszczamy na płaszczyźnie
x, y,
a
wartości funkcji zaznaczamy na osi
z.
Możemy to zapisać w postaci zależności
z
=
f(x, y).
2
2
Przykład 2. Niech
f(x, y)
=
x
+
y
.Dziedziną
funkcji jest cała płaszczyzna
x, y.
Rysunek 2. pokazuje wykres tej funkcji. Wykres ten jest
powierzchnią zwaną paraboloidą.
Rysunek 2. Wykres funkcji
z
=
x
2
+
y
2
.
Rysunek 3. Wykres funkcji
z
�½
16
x
y
2
1
2 2
1
Zastosowanie matematyki do opisu zjawisk ekonomicznych sprowadza się często do budowy i analizy tzw.
jednorównaniowych modeli opisowych. Model ten można zapisać w postaci
y
�½
f
(
x
1
,
x
2
. . . ,
x
n
)
,
gdzie
y – wielkość ekonomiczna objaśniana przez model,
x
1
,
x
2
. . . ,
x
n
- zmienne objaśniające badane zjawisko,
f-
funkcja
opisująca badane zjawisko.
Najczęściej spotykane funkcje w ekonomii to funkcje: popytu, produkcji, kosztów.
Na przykład, jeżeli
y=f(x)
jest funkcją popytu, gdzie
x
�½
(
x
1
,
x
2
. . . ,
x
n
)
jest wektorem to y oznacza popyt na
określone dobro,
x
1
- dochód konsumenta,
x
2
, x
3
, …x
n
- ceny towarów.
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.
Niech
x
∈
IR
n
ma współrzędne (x
1
, . . . , x
n
). Niech (x
k
) (k
= 1, 2, . .
.) będzie ciągiem w IR
n
o współrzędnych
odpowiednio (x
k1
, . . . , x
kn
). Mówimy, że ciąg (x
k
) dąży do
x,
jeśli dla każdego
i = 1,
.
. . , n
ciąg liczbowy (x
ki
)
zbiega do x
i
. Można to wyrazić słowami następująco: Ciąg jest zbieżny w przestrzeni IR
n
, jeśli jest zbieżny na każdej
współrzędnej.
Niech f : IR
n
→ IR
m
. Mówimy że funkcja f jest ciągła w punkcie
x
jeśli z tego, że
x
k
dąży do
x
wynika, że f(x
k
) dąży
do f(x).Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej prawdziwe są fakty: Suma, różnica, iloczyn i iloraz (pod
warunkiem, że mianownik jest różny od zera) funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą;
Złożenie funkcji ciągłych jest
funkcją ciągłą.
Pochodne cząstkowe
Niech
f
: IR
n
→
IR. Oznaczmy punkt
x
przez (x
1
, . . . , x
n
). Niech 1
≤ i ≤ n
i niech
x
1
, . . . , x
i−1
,
x
i+1
, . . . , x
n
będą ustalone. Niech
g
będzie funkcją jednej zmiennej zdefiniowaną następująco:
g(t)
=
f(x
1
, . . . , x
i−1
, t,
x
i+1
, . . . , x
n
). Jeśli funkcja
g
ma pochodną
g′(t),
to mówimy, że funkcja
f
ma
pochodną cząstkową
względem
zmiennej
x
i
. Tę pochodną cząstkową oznaczamy symbolem
oznaczenie pochodnej cząstkowej względem
zmienne poza zmienną
x
i
, jako
stałe.
PRZYKŁAD
.
f
x
i
i czytamy
„de f po de xi”.
Inne stosowane
x
i
to
∂f/∂x
i
.Pochodną cząstkową obliczamy traktując wszystkie
Niech
f
(
x
,
y
)
�½
3
x
2
y
f
x
�½
3,
f
y
�½
2,
g
(
x
,
y
)
�½
xy
2
f
x
�½
y
2
,
f
y
�½
2
xy
.
Pochodna cząstkowa funkcji f względem zmiennej
x
i
opisuje przybliżoną zmianę wartości funkcji f przy wzroście
zmiennej x
i
o jedną jednostkę i niezmienionych pozostałych zmiennych.
Podobnie jak w wypadku funkcji jednej zmiennej wprowadza się pojęcie
elastyczności cząstkowej
względem
zmiennej
x
i
.
Oznaczamy ją
E
xi
f
.
Wartość elastyczności cząstkowej otrzymujemy z wzoru
.Elastyczność cząstkowa względem zmiennej
x
i
opisuje
procentową zmianę funkcji f przy przyroście zmiennej
x
i
o jeden procent i niezmienionych pozostałych zmiennych.
ZASTOSOWANIE POCHODNYCH CZĄSTKOWYCH. Pochodne cząstkowe służą podobnie jak pochodne funkcji
jednej zmiennej do wyznaczania największej i najmniejszej wartości funkcji. Prawdziwe jest bowiem poniższe
twierdzenie.
2
TWIERDZENIE. Jeśli funkcja f: IR
n
→ IR posiada pochodne cząstkowe i w pewnym punkcie przyjmuje maksimum
lub minimum, to wszystkie pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe zeru. Ograniczymy się do przykładów w
przestrzeni dwu i trójwymiarowej. Mamy wtedy następującą sytuację:
1.
Funkcja ciągła określona na pewnej ograniczonej figurze lub bryle geometrycznej z brzegiem przyjmuje swoją
największą i najmniejszą wartość. W sformułowaniu tym pojawia się pojęcie brzegu intuicyjnie dosyć oczywiste. Nie
będziemy wprowadzać precyzyjnej matematycznej definicji brzegu. Podamy tylko czym jest brzeg w najważniejszych
sytuacjach wystarczających do naszych celów: brzegiem wielokąta są jego boki, wielościanu jego ściany, brzegiem
koła okrąg, ogólnie brzegiem figury płaskiej jest jej „obwód”, a brzegami brył ich powierzchnie.
2.
Jeśli funkcja ta ma pochodne cząstkowe, to przyjmuje najmniejszą (największą) wartość albo na brzegu figury
(bryły), albo w punkcie, w którym pochodne cząstkowe są równe zeru.
Te dwa stwierdzenia pozwalają nam wyznaczać najmniejszą (największą) wartość funkcji określonej na pewnej
figurze (bryle) według następującego schematu:
Krok 1.
Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy je do zera. W ten sposób wyznaczamy punkty stacjonarne
(podejrzane o ekstremum).
Krok 2.
Liczymy wartości funkcji w tych punktach.
Krok 3.
Wyznaczamy funkcję na brzegu figury i liczymy najmniejszą (największą) wartość funkcji na brzegu.
Krok 4.
Spośród wszystkich wartości z punktów 2 i 3 wybieramy najmniejszą (największą).
Model dochodu narodowego
Opiszemy tu model uwzględniający trzy podstawowe wielkości: dochód narodowy, konsumpcję i podatki. Wielkości
rozważane w tym modelu to:•
y
- dochód narodowy;•
x
- konsumpcja;•
z
- podatki;•
I
- inwestycje;
•
G
- wydatki
rządowe;•
a
- konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodów),
a >
0
;•
b
- krańcowa skłonność do konsumpcji
(zakładamy, że
b
jest stałe);•
c
- stopa podatku dochodowego,
c
∈
(0; 1);
d
- stała część podatków, niezależna od
dochodów,
d >
0.
1
y
�½
x
I
G
,
Model opisują trzy równania:
2
x
�½
a
b
y
z
,
�½
.
3
z
�½
d
cy
.
Pierwsze równanie orzeka, że dochód jest spożytkowany na konsumpcję, inwestycje i wydatki rządowe. Drugie
równanie stwierdza, że konsumpcja składa się z konsumpcji stałej i z części dochodu przeznaczanego na konsumpcję.
Trzecie równanie mówi, że podatki składają się z podatków niezależnych od dochodu i podatków proporcjonalnych
do dochodu.
Rozwiążemy ten układ względem
y.
Jest to układ trzech równań liniowych o trzech niewiadomych
x, y, z.
Rozwiązując układ otrzymujemy rozwiązanie;
x
�½
y
0
I
G
;
y
�½
y
0
,
z
�½
d
cy
0
,
gdzie
y
0
=
a
bd
I
G
.
1
b
bc
Wielkość
y
0
jest dochodem równowagi. Możemy
y
0
potraktować, jako funkcję sześciu zmiennych:
a, b, c, d, I
oraz
G.
Możemy więc obliczyć sześć pochodnych cząstkowych. Trzy z nich grają ważną rolę w podejmowaniu decyzji
gospodarczych. Są to:
3
Pierwsza pochodna cząstkowa to tzw.
mnożnik wydatków rządowych.
Z faktów, że
b
∈
(0; 1), a,
b, c >
0
wynika,
że mnożnik ten jest dodatni. Wyciągamy stąd wniosek, że wraz ze wzrostem wydatków rządowych przy
niezmienionych innych parametrach rośnie dochód równowagi rynkowej. Druga pochodna cząstkowa, tzw.
mnożnik
podatków stałych,
jest ujemna, bowiem:
−b, < 0. Zatem
przy wzroście podatków innych niż podatek dochodowy
dochód równowagi rynkowej maleje.
Trzecia pochodna cząstkowa to tzw.
mnożnik stopy podatku dochodowego.
Pochodną tę możemy zapisać w postaci
Wynika stąd, że ta pochodna jest też ujemna. Oznacza to, że zwiększenie stopy podatku dochodowego powoduje
zmniejszenie dochodu równowagi rynkowej.
E
KSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Niech f:
X→ℝ,
gdzie
X
ℝ;
będzie funkcją n −zmiennych.
Gdzie symbol
oznacza iloczyn kartezjański.
4
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin