AP2012wydruk2c(1).pdf

(218 KB) Pobierz
Wyk÷ z analizy portfelowej, cz¾s´ II
ady
e´ c
(semestr letni 2011/12)
Marcin Studniarski
1
Pojecie krótkiej sprzedazy
¾
·
Przyk÷ 1.
Inwestor
I
przewiduje, ze cena akcji spó÷
A
– obecnie 100$
ad
ki
·
za sztuk¾ – pod koniec roku spadnie do poziomu 95$ (warto´ c oczekiwana).
e
s´
Ponadto
I
spodziewa sie wtedy wyp÷ dywidendy w wysoko´ 3$ za jedna
¾
aty
sci
¾
akcje. Zatem zakup przez
I
jednej akcji spó÷
A
pociagnie za soba nastepujace
¾
ki
¾
¾
¾
¾
przep÷
ywy gotówki:
Czas:
Zakup akcji:
Dywidenda:
Sprzedaz akcji:
·
Suma przep÷
ywów:
obecnie
100
koniec roku
+3
+95
+98
100
W tej sytuacji inwestor
I
nie zechce trzyma´ akcji spó÷
A
w swoim portfelu.
c
ki
Co wiecej, najchetniej posiada÷ on
ujemna
liczbe takich akcji. Jak moze tego
¾
¾
by
¾
¾
·
dokona´ ?
c
Przypu´ cmy, ze inny inwestor
J
równiez posiada akcje spó÷
A,
ale nie
s´
ki
·
·
chce ich sprzedawa´ . Inwestor
I
moze pozyczy´ akcje
A
od
J,
zapewniajac
c
c
¾
¾
·
·
mu jednocze´
snie, ze nie straci on zadnych korzy´ wynikajacych z posiadania
sci
¾
·
·
akcji.
I
sprzedaje teraz akcje
A
i otrzymuje 100$, z których 3$ przekazuje
¾
J
na zrekompensowanie niezrealizowanej wyp÷ dywidendy. Ani
I
ani
J
nie
aty
posiadaja teraz akcji
A
–faktyczna dywidende otrzymuje jej aktualny w÷sciciel.
¾
¾
¾
a´
Pod koniec roku
I
kupuje akcje
A
za 95$ i zwraca pierwotnemu w÷scicielowi
J.
¾
a´
Przep÷
ywy gotówki dla
I
wygladaja teraz tak:
¾ ¾
Czas:
Sprzedaz akcji:
·
Dywidenda:
Zakup akcji:
Suma przep÷
ywów:
obecnie
+100
koniec roku
3
95
98
+100
2
Ekstrema warunkowe –regu÷ mnozników La-
a
·
grange’
a
n.
Niech
(1)
Niech
G
bedzie podzbiorem otwartym przestrzeni
R
n
i niech
1
k
¾
f
:
G
!
R
i
'
:
G
!
R
k
beda danymi funkcjami. Okre´
¾ ¾
slamy zbiór
S
:=
fx 2
G
:
'(x)
= 0g:
1
Zak÷
adamy, ze
S
6
=
;.
·
Mówimy, ze funkcja
f
ma w punkcie
x
2
S
lokalne minimum [maksi-
·
mum] warunkowe
(na zbiorze
S),
jezeli istnieje takie otoczenie
U
punktu
x
·
(U
G),
ze
f
(x)
f
(x)
[
f
(x)
f
(x)
] dla kazdego
x
2
S
\
U
.
·
·
Mówimy, ze funkcja
f
ma w punkcie
x
2
S
´
scis÷ lokalne minimum [mak-
e
·
simum] warunkowe
(na zbiorze
S),
jezeli istnieje takie otoczenie
U
punktu
x
·
(U
G),
ze
f
(x)
< f
(x)
[
f
(x)
> f
(x)
] dla kazdego
x
2
S
\
U
nfxg.
·
·
Twierdzenie 1.
Za÷·my, ·e w pewnym otoczeniu
U
punktu
x
2
S
funkcje
óz
z
f
i
'
maja¾ciag÷ pierwsze pochodne czastkowe oraz
rf
(x)
6
= 0
i
Rank
'
0
(x) =
¾e
¾
k.
(a) (warunki konieczne)
Je·eli
f
ma w punkcie
x
lokalne ekstremum
z
warunkowe, to istnieja¾liczby rzeczywiste
1
; :::;
k
takie, ·e
funkcja Lagrange’
z
a
k
L
:
U
R
!
R
okre
´slona wzorem
L(x;
) :=
f
(x) +
spe÷ warunek
nia
@L
(x; ) = 0,
j
= 1;
:::; n.
@x
j
(3)
k
X
i=1
i
'
i
(x)
(2)
(b) (warunki dostateczne)
Niech
x
2
S
bedzie punktem spe÷ acym
¾
niaj ¾
warunki konieczne
(3).
Za÷·my dodatkowo, ·e
f
i
'
maja¾ciag÷ drugie pochodne
óz
z
¾e
czastkowe. Je·eli
¾
z
@
2
L
hr L(x;
)h =
h
i
h
j
(x; )
>
0
@x
i
@x
j
i;j=1
2
T
n
X
(4)
dla ka·dego wektora
h
= (h
1
; :::; h
n
)
ró·nego od zera i spe÷ acego warunek
z
z
niaj ¾
hr'
i
(x);
hi
=
n
X
@'
j=1
i
@x
j
(x)h
j
= 0,
i
= 1;
:::; k;
(5)
to
f
ma w punkcie
x
´scis÷ lokalne minimum warunkowe. Je·eli
e
z
hr
2
L(x;
)h
T
<
0
(6)
dla ka·dego wektora
h
ró·nego od zera i spe÷ acego warunek
(5),
to
f
ma w
z
z
niaj ¾
punkcie
x
´scis÷ lokalne maksimum warunkowe.
e
2
Je·eli
hr L(x;
)h
T
przyjmuje zarówno warto
z
´sci dodatnie jak i ujemne dla
h
spe÷ acych
(5),
to
f
nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie
niaj ¾
x.
Uwaga.
Ze wzoru (2) wynika, ze dla dowolnego
i
2 f1;
:::; kg
pochodna
·
@L
czastkowa
@
i
(x; )
nie zalezy od wektora i jest równa
'
i
(x).
Stad i z (1)
¾
¾
·
otrzymujemy
@L
S
:=
x
2
G
:
(x) = 0,
i
= 1;
:::; k :
(7)
@
i
2
3
3.1
Wyznaczanie portfela minimalnego ryzyka przy
dopuszczalnej krótkiej sprzedazy
·
Przypadek zadanej oczekiwanej stopy zysku
Niech
u
= (u
1
; :::; u
m
)
bedzie wektorem, którego wspó÷ ednymi sa udzia÷ akcji
¾
rz ¾
¾
y
1;
:::; m
w portfelu. Poniewaz dopuszczamy mozliwo´ c krótkiej sprzedazy, udzi-
s´
·
·
·
a÷ te nie musza by´ nieujemne. Zatem
u
nalezy do zbioru
y
¾ c
·
8
9
m
<
=
X
m
P
m
:=
u
= (u
1
; :::; u
m
)
2
R
:
u
j
= 1
:
(8)
:
;
j=1
Niech
0
bedzie zadana oczekiwana stopa zysku portfela
u.
Rozwazamy nastepu-
¾
¾
¾
¾
¾
·
jace zadanie optymalizacji:
¾
8
<
Var
R(u)
=
uCu
T
!
min;
P
m
u
i
= 1;
(9)
: P
i=1
m
i=1
u
i i
=
0
;
gdzie
C
jest macierza kowariancji wektora stóp zysku akcji
1;
:::; m,
a
¾
=
(
1
; :::;
m
)
– wektorem oczekiwanych stóp zysku tych akcji. Celem zadania
(9) jest znalezienie portfela minimalnego ryzyka dla oczekiwanej stopy zysku
0
.
Do rozwiazania zadania (9) zastosujemy metode mnozników Lagrange’ Na-
¾
¾
a.
·
jpierw tworzymy funkcje Lagrange’
¾
a:
!
!
m
m
m
X
X
X
c
ij
u
i
u
j
+
1
u
i
1 +
2
u
i i
(10)
L(u;
) =
0
;
i;j=1
i=1
i=1
Teraz rózniczkujemy
L
wzgledem
¾
·
a nastepnie rózniczkujemy ja kolejno wzgledem zmiennych
u
1
; :::; u
m
, korzysta-
¾
¾
¾
·
jac z symetrii macierzy
C:
¾
8
@L
>
@u
1
(u; ) = 2(c
11
u
1
+
:::
+
c
1m
u
m
) +
1
+
2 1
;
<
.
.
(11)
.
>
:
@L
@u
m
(u; ) = 2(c
m1
u
1
+
:::
+
c
mm
u
m
) +
1
+
2
m
:
1
i
2
:
@L
(u; )
@
1
@L
(u; )
@
2
=
=
m
X
i=1
m
X
i=1
u
i
u
i
1;
0
:
(12)
(13)
i
Tak obliczone pochodne przyrównujemy do zera, uzyskujac w ten sposób uk÷
¾
ad
równa´
n
8
<
2Cu
T
+
1
1
T
+
2
T
= 0;
k
1
k
u
T
= 1;
(14)
:
T
u
=
0
;
3
gdzie
1
k
= (1;
:::;
1)
2
R
k
oraz
0
k
= (0;
:::;
0)
2
R
k
. Uwzgledniajac wzór (128),
¾
¾
cz. I, mozna uk÷ (15) zapisa´ nastepujaco:
ad
c
¾
¾
·
2
2
2
1
12
który w postaci macierzowo-blokowej mozna zapisa´ jako
c
·
2
32
T
3 2
3
T
0
k
2C
1
T
u
k
4
1
k
0
0
54
1
5
=
4
1
5
;
0
0
2
0
(15)
2
(16)
Oznaczajac przez
A
macierz kwadratowa wystepujaca w (16), a przez
z
i
b
¾
¾
¾
¾ ¾
odpowiednie wektory kolumnowe, zapisujemy (16) w postaci
Az
=
b:
(17)
6
2
1 2
6
6
.
.
6
.
6
6
2
1
m
6
4
1
1
1 2 12
2
2
2
2
2
..
.
1
m
1m
2
m
2m
.
.
.
.
.
.
1
1
.
.
.
1
0
0
1m
2
2
m
2m
2
2
m
1
2
1
m
76
76
.
76
.
76
.
76
76
m
7 6
u
m
0
54
1
0
2
2
1
32
u
1
u
2
.
.
.
3
7 6
7
7 6
7
7 6
7
7 6
7
7
=
6
7
:
7 6
0
7
7 6
7
5 4
1
5
0
2
0
0
.
.
.
3
Mozna wykaza´ , ze jezeli macierz kowariancji
C
jest nieosobliwa, to takze macierz
c · ·
·
·
A
jest nieosobliwa. Wtedy rozwiazanie uk÷ (17) jest dane wzorem
¾
adu
z
=
A
1
b:
(18)
3.2
Przypadek dowolnej oczekiwanej stopy zysku
Teraz poszukujemy portfela minimalnego ryzyka przy wszystkich mozliwych
·
oczekiwanych stopach zysku. Wówczas zamiast zadania optymalizacji (9) mamy
jego uproszczona wersje
¾
¾
Var
R(u)
=
uCu
T
!
min;
P
m
i=1
u
i
= 1;
(19)
w której nie wystepuje ograniczenie na oczekiwana stope zysku portfela. W
¾
¾
¾
tym przypadku mamy tylko jeden mnoznik Lagrange’
1
zwiazany z jednym
a
¾
·
ograniczeniem typu równo´
sci. Postepujac analogicznie jak w poprzednim przy-
¾
¾
padku, dochodzimy do nastepujacego uk÷
¾
¾
adu równa´ , bedacego uproszczona
n ¾ ¾
¾
wersja (16):
¾
32
3 2 3
2
u
1
0
2
2
2
1 2 12
2
1
m
1m
1
1
2
7 6
u
2
7 6
0
7
6
2
1 2 12
2
2
2
2
m
2m
1
7 6
7 6 7
6
6
.
.
.
.
7 6
.
7
=
6
.
7
:
(20)
..
.
.
.
.
76
.
7 6
.
7
6
.
.
.
.
.
76
.
7 6
.
7
6
2
4
2
1
m
1m
2
2
m
2m
1
5 4
u
m
5 4
0
5
2
m
1
1
1
1
0
1
1
Uwagi dotyczace rozwiazania tego uk÷ sa takie same jak poprzednio.
¾
¾
adu ¾
4
4
4.1
Portfele zawierajace papier warto´
¾
sciowy pozbaw-
iony ryzyka
Rozszerzenie modelu podstawowego Markowitza
Rozwazamy sytuacje, gdy w portfelu papierów warto´
¾
sciowych oprócz akcji ponu-
·
merowanych od
1
do
m
znajduje sie dodatkowy papier warto´
¾
sciowy pozbawiony
ryzyka (np. obligacja skarbowa o sta÷ oprocentowaniu lub bon skarbowy),
ym
oznaczony numerem
0.
Tworzymy nowy zbiór portfeli papierów warto´
sciowych
8
9
m
<
=
X
^
m+1
:=
u
= (u
0
; u
1
; :::; u
m
)
2
R
m+1
:
u
i
0;
i
= 0; 1;
:::; m;
P
^
u
j
= 1
;
:
;
j=0
(21)
na którym okre´
slone jest rozszerzenie odwzorowania Markowitza nastepujaco:
¾
¾
^
u
M
(^) := ( (^);
ER(^
)),
u
2
P
m+1
:
u
u
^ ^
(22)
Dla
m
akcji mamy wektor
= (
1
; :::;
m
)
oczekiwanych stóp zysku, gdzie
¾
· ¾
i
:=
E(R
i
)
(i
= 1;
:::; m),
natomiast przez
0
oznaczamy ustalona (niezalezna
od sytuacji losowej) stope zysku papieru pozbawionego ryzyka. Oczywi´
¾
scie sen-
sowne jest rozwazanie sytuacji, gdy
0
>
0.
Macierz kowariancji stóp zysku dla
·
nowego modelu ma posta´
c
3
2
0
0
0
6
0
c
11
c
1m
7
6
7
^
C
=
6
.
(23)
.
.
7
:
..
.
.
.
5
4
.
.
.
.
0
c
m1
c
mm
^
Stwierdzenie 1.
Zbiór mo·liwo
z
´sci
M
dla modelu Markowitza rozszerzonego
o papier warto
´sciowy pozbawiony ryzyka ma posta´c
[
^ =
M
P
m+1
=
^ ^
M
[(0;
0
); (x;
y)];
(24)
(x;y)2M
Obliczmy teraz oczekiwana stope zysku portfela
u
:
¾
¾
^
ER(^
) =
u
m
X
i=0
gdzie
M
jest zbiorem mo·liwo dla modelu podstawowego Markowitza, zawier-
z
´sci
ajacego akcje od
1
do
m.
¾
^
Dowód.
„ ” Niech
u
= (u
0
; u
1
; :::; u
m
)
2
P
m+1
,
u
6
= (1; 0;
:::;
0).
Oz-
:
^
^
P
m
m
naczmy
u
:= (u
1
; :::; u
m
),
C
:= [c
ij
]
i;j=1
,
:=
i=1
u
i
, wówczas
u
0
= 1
,
2
(0; 1].
Uwzgledniajac (23) oraz fakt, ze
u=
2
P
m
, mozemy wyrazi´ ryzyko
¾
¾
c
·
·
rozszerzonego portfela
u
za pomoca ryzyka portfela akcji
u:
^
¾
r
p
p
u
u
T
u
(^) =
uC u
T
=
uCu
T
=
u
^ ^^
C
=
:
(25)
u
i
= (1
)
+
m
X
u
i
i=1
i
0
i
= (1
)
0
+
ER
u
:
(26)
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin