linearyzacja.pdf

(1868 KB) Pobierz
2-1
Ćwiczenia
dr inż. Krzysztof Przystupa
LINEARYZACJA
Podstawową formą opisu procesów zachodzących w
członach lub układach automatyki jest równanie ruchu
(równanie dynamiki). Jest to zależność wielkości fizycznych,
przyjętych jako sygnały wyjściowe, od wielkości fizycznych
będących sygnałami wejściowymi danego członu lub układu.
W wielu przypadkach równanie dynamiki jest równaniem
nieliniowym. Często jednak, kiedy zakres zmienności sygnałów
(zakres pracy członu lub układu) jest odpowiednio mały,
równanie nieliniowe zastępuje się przybliżonym równaniem
liniowym, uzyskując za cenę wprowadzenia przybliżonego opisu
matematycznego możliwość korzystania z teorii układów
liniowych.
Niech dany proces zachodzący w układzie o jednym
sygnale wyjściowym,
x
1
x
2
x
k
y
opisany będzie równaniem różniczkowym.
F y, ����, ����, … , ����
1
, ����
1
, ����
1
, … , ����
1
����
1
, ����
2
, … , ����
����
, ����
����
, ����
����
, … , ����
����
����
����
= 0,
gdzie
����[… ]jest
funkcją nieliniową, w którym zmiennymi są
sygnały wejściowe i wyjściowy oraz ich pochodne względem
czasu.
Niech proces zachodzi przy niewielkich odchyleniach
poszczególnych sygnałów od punktu pracy określonego na
przykład przez współrzędne:
y
0n
, x
10n
, x
20n
, … , x
k0n
.
Jeżeli układ znajdzie się w punkcie pracy, a więc sygnały
wejściowe x
1
,
x
2
, …, x
2k
oraz wyjściowy y osiągną wartości
ustalone, równe odpowiednio x
10n
, x
2Qn
, ..., x
k0n
i y
0n
, wszystkie
pochodne tych sygnałów względem czasu są zerami.
2-2
Ćwiczenia
dr inż. Krzysztof Przystupa
A więc w punkcie pracy jest:
����
1
= ����
1
= ⋯ = ����
1
(����
1
)
(����
2
)
(����
����
)
=0
=0
=0
����
2
= ����
2
= ⋯ = ����
2
����
����
= ����
����
= ⋯ = ����
����
Wobec powyższego punkt pracy nazywa się również
punktem równowagi.
Zależność
między
współrzędnymi
wszystkich
możliwych
stanów
równowagi
nazywa
się
charakterystyką statyczną danego procesu.
Z definicji charakterystyki statycznej wynika, że wyzna-
czyć ją można z równania
F y, ����, ����, … , ����
1
, ����
1
, ����
1
, … , ����
1
uwzględniając
����
1
= ����
1
= ⋯ = ����
1
(����
1
)
(����
2
)
(����
����
)
����
1
, ����
2
, … , ����
����
, ����
����
, ����
����
, … , ����
����
����
����
= 0,
=0
=0
=0
����
2
= ����
2
= ⋯ = ����
2
����
����
= ����
����
= ⋯ = ����
����
Charakterystyka statyczna procesu opisanego równaniem
F y, ����, ����, … , ����
1
, ����
1
, ����
1
, … , ����
1
ma więc postać
F[y
0
, ���� = 0, ���� = 0, … , ����
(���� )
= 0, ����
10
, ����
1
= 0, ����
1
= 0, … , ����
1 ����
1
= 0,
����
20
, … , ����
2 ����
2
= 0, … , ����
����0
, ����
����
= 0, … , ����
���� ����
����
= 0] = 0.
W równaniu będącym charakterystyką statyczną symbole
sygnałów y, x
1
, x
2
, ... x
k
zastąpiono symbolami y
0
, x
10
,
X
20
, ...
y
k0
w celu zaznaczenia, że jest to związek między sygnałami w
stanie równowagi układu.
����
1
, ����
2
, … , ����
����
, ����
����
, ����
����
, … , ����
����
����
����
= 0,
2-3
Ćwiczenia
dr inż. Krzysztof Przystupa
Jeżeli funkcja
F y, ����, ����, … , ����
1
, ����
1
, ����
1
, … , ����
1
����
1
, ����
2
, … , ����
����
, ����
����
, ����
����
, … , ����
����
����
����
= 0,
jest ciągła różniczkowalna względem wszystkich zmiennych i ich
pochodnych w okolicy punktu pracy, można przeprowadzić jej
linearyzację.
Linearyzacja polega na:
1) przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu
pracy (równowagi, odniesienia) określonego przez współrzędne
x
10n
, x
20n
, … , x
k0n
, y
0n
.
2) zastąpieniu zmiennych i ich pochodnych nowymi zmiennymi
przyrostowi
∆x
1
, ∆ x
2
, … , ∆ x
k
, ∆y
i ich pochodnymi;
3) zastąpieniu równania
F y, ����, ����, … , ����
1
, ����
1
, ����
1
, … , ����
1
����
1
, ����
2
, … , ����
����
, ����
����
, ����
����
, … , ����
����
����
����
= 0,
liniowym związkiem zmiennych przyrostowych w postaci
��������
��������
��������
+
��������
1
��������
+
��������
����
��������
��������
∙ ∆���� +
∙ ∆����+. . . +
∙ ∆����
����
+
��������
0
��������
���� 0
0
��������
��������
����
∙ ∆����
1
+
∙ ∆����
1
+. . . +
∙ ∆����
1
1
+
��������
1 0
��������
����
1
0
0
0
��������
∙ ∆����
����
+
��������
����
0
∙ ∆����
����
+. . . +
��������
(���� )
��������
����
����
0
∙ ∆����
����
����
1
=0
W
powyższym
równaniu
wartości
poszczególnych
pochodnych, ujętych w nawiasy kwadratowe, liczone są dla
współrzędnych
punktu
równowagi,
względem
którego
przeprowadzona jest linearyzacja, co zaznaczono indeksami
"0".
2-4
Ćwiczenia
dr inż. Krzysztof Przystupa
Przedstawiona
metoda
ma
prostą
interpretację
geometryczną w przypadku funkcji jednej zmiennej.
Niech układ o jednym sygnale wejściowym x i jednym
sygnale wyjściowym y posiada opis matematyczny w postaci
nieliniowego - równania ruchu
y = f(x).
Graficznym obrazem tego równania jest krzywa pokazana na
rysunku.
y
y
y=k x
y=f(x)
y
0n
x
0
x
0n
x
Rys. Interpretacja geometryczna linearyzacji funkcji jednej zmiennej
Załóżmy, że funkcję tę można zlinearyzować w punkcie
pracy o współrzędnych
x
0n
, y
0n
.
Funkcję
y = f(x)
można przedstawić w postaci uwikłanej
F(x,y) = 0,
czyli
y - f(x) = 0.
Po zlinearyzowaniu funkcja przybiera postać
2-5
Ćwiczenia
dr inż. Krzysztof Przystupa
��������
��������
Po przekształceniu
��������
∙ ∆���� +
��������
0
��������
��������
∆���� = −
��������
��������
∙ ∆���� = 0
0
0
0
∙ ∆����
Z
y - f(x) = 0
wynika
��������
��������
0
=−
�������� ����
��������
∙ ∆����
oraz
��������
��������
= 1.
��������
�������� 0
��������
�������� 0
Podstawiając
��������
�������� 0
=−
�������� ����
��������
∙ ∆����
do
∆���� = −
�������� ����
��������
∙ ∆����
∙ ∆����
otrzymujemy
∆���� =
Z równania ostatniego widać, że linearyzacja polegała na
zastąpieniu krzywej styczną do niej w punkcie o współrzędnych
x
0n
, y
Qn
odpowiadającym punktowi pracy układu.
Uwaga.
Dysponując jedynie zlinearyzowanym równaniem
ruchu nie można wyznaczyć charakterystyki statycznej
procesu.
Wstawiając
w
miejsce
pochodnych
w
zlinearyzowanym
równaniu
ruchu
zera
otrzymuje
się
przybliżoną charakterystykę statyczną, obowiązującą jedynie w
okolicy punktu pracy układu, która pokrywa się z rzeczywistą
charakterystyką statyczną tylko w punkcie pracy, w odniesieniu
do
którego
przeprowadzona
została
linearyzacja.
W
szczególnych
przypadkach
charakterystyka
statyczna,
wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego, może
pokrywać się z rzeczywistą charakterystyką statyczną.
Zgłoś jeśli naruszono regulamin