lz_am1_2014_15.pdf

(161 KB) Pobierz
Analiza Matematyczna 1
(2014/2015)
MAP1043, 1091, 1142, 1143, 3045, 3057
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas
Lista zdań
∗
obejmuje cały materiał kursu i jest podzielona na 14 jednostek odpowiadających ko-
lejnym wykładom. Na ćwiczeniach należy rozwiązać jeden lub dwa podpunkty z każdego zadania.
Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone literą (P) są proste
i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką (*) są trudniejsze. Te nieobo-
wiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Dodatkowo na końcu listy zadań umieszczono
po 4 przykłady zestawów zadań z I i II kolokwium oraz z egzaminów podstawowego i poprawkowego.
Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiązań zadań za pomocą programów komputerowych.
Programy te można wykorzystać m.in. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciągów i
funkcji, znajdowania pochodnych, wyznaczania całek nieoznaczonych i oznaczonych, rozwiązywania
układów równań algebraicznych i różniczkowych, badań statystycznych itp. Polecamy stronę inter-
netową
Wolfram Alpha.
Wiele kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania
obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji.
Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w
egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można
znaleźć na stronie internetowej
http://www.im.pwr.edu.pl/StudenciCelujace/php
Przed kolokwiami i egzaminami warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych
przez studentów na sprawdzianach z matematyki.
http://prac.im.pwr.edu.pl/˜skoczylas/typowe bledy studentow.pdf
Lista 1
1.
Czy podane wypowiedzi są zdaniami w logice? Jeśli są, to podać ich wartość logiczną:
(a) „Amsterdam jest stolicą Holandii”; (b) „liczba 123888 jest podzielna przez 8”;
(c) „a
2
+
b
2
=
c
2
”;
(e) „2
5
32”;
2.
Napisać zaprzeczenia zdań:
(a) „ jem śniadanie i słucham radia”;
(d) „trójkąt o bokach 3, 4, 5 jest ostrokątny”;
(f) „∆ =
b
2
−
4ac”.
(b) „kwadrat nie jest pięciokątem”;
(c) „stolicą Polski jest Gniezno lub Wrocław”;
(d) „ jeśli funkcja
f
jest rosnąca, to funkcja
−f
jest malejąca”;
∗
(e) „liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2 oraz przez 3”.
Zadania zaczerpnięto z książek autorów:
Analiza matematyczna 1 (Definicje, twierdzenia, wzory;
Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy)
oraz
Wstęp do analizy i algebry
1
3.
Ocenić prawdziwość zdań złożonych:
(a) „nieprawda, że funkcja
f
(x) =
x
2
jest rosnąca na
R”;
(b) „(−1)
44
=
−1
lub 2008 jest liczbą parzystą”;
(c) „funkcja
g(x)
= sin
x
jest okresowa, a funkcja
f
(x) = 3
x
nieparzysta”;
(d) „ jeżeli Piotr jest synem Tadeusza, to Tadeusz jest starszy od Piotra”;
(e) „liczba 13579 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 jest podzielna
przez 9”.
4.
Używając tylko kwantyfikatorów, spójników logicznych oraz relacji (=, =,
<,
nia:
(a) punkt (a,
b)
leży pod wykresem funkcji
y
= 4
−
x
2
;
x
2
+
y
2
= 4,
nie ma rozwiązań;
x
+
y
= 10
) zapisać stwierdze-
(b) punkt (p,
q)
nie należy do wnętrza pierwszej ćwiartki;
(c) układ równań
(d) równanie
x
7
+ 3x
5
+ 1 = 0 ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste;
(e) liczba 2017 jest pierwsza;
(f) funkcja
f
nie jest rosnąca na przedziale [0, 1];
(g) skoro dla pewnego
x
0
∈
R
zachodzi równość
x
2
+ 1 (2
x
0
−
3) = 0, a równanie
x
2
+ 1 = 0 nie ma
0
x
0
−
3 = 0.
rozwiązań rzeczywistych, to 2
5.
Zbadać, czy podane formy zdaniowe z kwantyfikatorami są prawdziwe:
(a)
x∈R
x
x
= 27;
xy
= 0;
y∈R x∈R
(b)
x∈R
x
2
+ 4x + 3
>
0;
(y
x∈R y∈R
(c)
x∈R y∈R
x
2
+
y
2
= 0;
(x + 1)
4
+ (y
−
2)
4
= 0.
(d)
(e)
x)
∨
(y
> x);
(f)
x∈R y∈R
6.
Dla par zbiorów
A, B
⊂
R
wyznaczyć
A
∪
B, A
∩
B, A
\
B, B
\
A, A
c
,
B
c
:
(a)
A
= (0, 5),
B
= [0, 7]; (b)
A
= (−∞, 3),
B
= [−1,
∞);
(c)
A
=
{1,
2},
B
=
{1,
2, 3, 4}.
Wskazać te pary
A, B,
dla których
A
⊂
B.
7. (P)
Funkcje kwadratowe sprowadzić do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i naszkicować ich wy-
kresy:
1
(a)
f
(x) =
−x
2
+
x;
(b)
f
(x) = 2x
2
+ 1;
(c)
f
(x) =
x
2
+
x
+ ;
4
3
9
(d)
f
(x) =
x
2
+ 2x
−
3;
(e)
f
(x) =
−2x
2
−
2x + ;
(f)
f
(x) =
−x
2
−
3x
−
.
2
4
Lista 2
8.
Określić i narysować dziedziny funkcji:
√
x
4
−
x
(a)
f
(x) =
2
; (b)
f
(x) =
2
;
x
−
2x
−
3
x
+2
(c)
f
(x) =
16
−
x
2
;
√
3
−
x
(d)
f
(x) =
√
.
x
+1
9.
Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje są monotoniczne na wskazanych zbiorach:
√
(a)
f
(x) =
−4x
+ 5,
R;
(b)
f
(x) = 3
−
x,
(−∞, 3].
10.
Podać wzory funkcji złożonych
f
◦
f
,
f
◦
g, g
◦
f
,
g
◦
g
oraz określić określić ich dziedziny:
1
(a)
f
(x) =
x
2
,
g(x)
=
x
+ 1;
(b)
f
(x) = ,
g(x)
=
x
2
;
x
√
√
4
(c)
f
(x) =
x, g(x)
=
x
;
(d)
f
(x) =
|x|,
g(x)
=
x
+ 1.
2
11.
Uzasadnić, że podane funkcje są różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
1
(a)
f
(x) = 2x
−
3,
R;
(b)
f
(x) =
,
(0,
∞).
x
12.(P)
Korzystając z własności logarytmów obliczyć:
√
3
(a) log
6
3 + log
6
12; (b) log
3
18
−
log
3
2;
(c) 9 log
6
36;
(d) 3 log
2
3
·
log
3
4;
(e) 3 log
4
√
3
−
1
log
4
3 + 3 log
4
2
−
log
4
6;
2
(c)
y
=
;
1
;
(x + 3)
2
(f)
13.
Naszkicować wykresy funkcji:
√
(a)
y
= (x + 1)
4
;
(b)
y
=
x
−
2;
(d)
y
= 2
x+1
log
2
54
−
log
2
6
.
log
2
27
−
log
2
9
;
(e)
y
=
1
3
x−2
(f)
y
= 4
|x|
;
(i)
y
= log
1
3
(g)
y
= 5 + log
2
x;
(h)
y
=
|log
100x|;
|x|
.
9
x−1
1
x
14.
Znaleźć funkcje odwrotne do funkcji:
√
x
+1
(a)
f
(x) =
;
(b)
f
(x) = 3
−
3
x
+ 2;
x
−
1
(e)
f
(x) = log(x + 2); (f)
f
(x) =
x
2
(x 0;
(c)
f
(x) = 2 ; (d)
f
(x) = 4 ;
√
(g)
f
(x) =
4
3
−
x
(x 3).
Lista 3
15.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji
y
=
f
(x).
Narysować wykresy funkcji:
(a)
y
=
f
(x) + 3;
(b)
y
=
f
(x + 1);
(c)
y
=
−f
(x);
1
(e)
y
=
f
(x);
2
(g)
y
=
|f
(x)|;
(d)
y
=
f
(−x);
(f)
y
=
f
(3x);
(h)
y
=
f
(|x|).
−1
−1
y
1
1
2
y
=
f
(x)
x
16.(P)
Korzystając z wykresu funkcji
y
= sin
x
naszkicować wykresy funkcji:
x
π
(b)
y
= sin ;
(c)
y
= sin
x
+
;
3
4
π
1
(f)
y
= sin 2
x
−
(d)
y
= 1 + sin
x;
(e)
y
= sin
x
−
1;
.
2
6
17.
Naszkicować wykresy funkcji:
sin
x
(a)
y
=
|cos
x|;
(b)
y
= sin
x
−
; (c)
y
=
|tg
x|
ctg
x.
2
18.
Uzasadnić tożsamości trygonometryczne:
(a)
y
= sin 2x;
(a)
1 + tg
α
= tg
α;
1 + ctg
α
α
1
−
cos
α
(d) tg =
;
2
sin
α
1
(b) sin
4
α+cos
4
α
= 1− sin
2
2α;
2
(e) sin
4
α−cos
4
α
= sin
2
α−cos
2
α;
(c) tg
α
+ ctg
α
=
(f)
2
;
sin 2α
1
−
cos
α
= sin
α
tg
α.
cos
α
Dla jakich kątów
α
są one prawdziwe?
19.(P)
Podaj wartości wyrażeń:
√
2
1
+ arc cos ; (b) arc ctg 1
·
arc tg 1;
(a) arc sin
2
2
3
arc sin
−
3/2
arc sin 1
√
√
√
(c)
;
(d) arc tg
3
−
arc ctg
3.
20.
Określić dziedziny funkcji:
(a)
f
(x) = arc sin(2x + 1);
1
;
(c)
f
(x) = arc tg
x
+1
(b)
f
(x) = arc cos
x
2
+
(d)
f
(x) = arc ctg 2
x
.
1
;
2
21.*
Funkcje odwrotne do podanych zapisać przy pomocy funkcji cyklometrycznych:
π
3π
(a)
f
(x) = sin
x, x
∈
,
;
(b)
f
(x) = cos
x, x
∈
[π, 2π];
2 2
3π
π
(c)
f
(x) = tg
x, x
∈ −
,
−
;
(d)
f
(x) = ctg
x, x
∈
(π, 2π).
2
2
Naszkicować wykresy otrzymanych funkcji odwrotnych.
Lista 4
22.
Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:
√
√
2 + cos
n
(a)
a
n
=
;
(b)
a
n
=
n
2
n
−
1; (c)
a
n
= 1
−
n;
3
−
2 sin
n
√
√
1
1
1
n
+ 8
−
n
+ 3; (e*)
a
n
=
1
(d)
a
n
=
+
2
+
...
+
n
.
4 +1 4 +2
4 +
n
23.
Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:
n
n!
2n + 1
;
(b)
a
n
=
2
;
(c)
a
n
=
n
;
(a)
a
n
=
n
+2
n
+1
10
4
n
1
;
(e)
a
n
=
n
;
(f)
a
n
=
n
2
+ 1
−
n.
(d)
a
n
=
2
n
n
−
6n + 10
2 +3
24.
Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości:
3
−
n
1
(a) lim
=
−1;
(b) lim
2
= 0;
(c) lim 2
n
=
∞.
n→∞
n
+ 4
n→∞
n
n→∞
25.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice:
3n
−
1
;
(a) lim
n→∞
n
+ 4
30
n
2
+ 2
(d) lim
;
n→∞
(n
3
+ 1)
20
(g) lim
n
2
+ 1
n!
+ 1
;
n→∞
(2n + 1)(n + 1)!
n
+1
(b) lim
;
n→∞
2n
2
+ 1
1 + 3 +
. . .
+ (2n
−
1)
(e) lim
;
n→∞
2 + 4 +
. . .
+ 2n
(h) lim
n→∞
n
2
+ 4n + 1
−
n
2
+ 2n ;
n
3
+ 2n
2
+ 1
(c) lim
;
n→∞
n
−
3n
3
5
n+1
−
4
n
(f) lim
n
;
n→∞
5
−
4
n+2
√
n n
(i) lim
√
.
n→∞
4n
3
+ 1
26.
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
√
⌊nπ⌋
2n + (−1)
n
;
(b) lim
;
(c) lim
n
3 + sin
n;
(a) lim
n→∞
n
n→∞
n→∞
3n + 2
n
n
1
2
1
1
3
n
1
n
3 + 2
+
2
+
3
; (e) lim
+
2
+
...
+
2
; (f) lim
(d) lim
.
n→∞
n→∞
n
2
+ 1
n→∞
n n
n
5
n
+ 4
n
n
+2
n
+
n
27.
Korzystając z definicji liczby
e
oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice:
(a) lim
n→∞
1
1+
n
3n−2
;
(b) lim
n→∞
5n + 2
5n + 1
15n
;
(c) lim
n→∞
3n
3n + 1
n
;
(d) lim
n→∞
n
+4
n
+3
5−2n
.
28.
Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice:
(a) lim
n
2
+ 1
;
n→∞
n
n→∞
(b) lim
n
n→∞
n
4
−
3n
3
−
2n
2
−
1 ;
(c) lim (1 + 2
n
−
3
n
);
n→∞
(d) lim
n
+1
2n
;
(e) lim
1
−
(n + 1)!
;
n→∞
n!
+ 2
4
(f) lim
arc tg
n
.
n→∞
arc ctg
n
29.
Będziemy mówili, że ciągi (a
n
), (b
n
) o dodatnich wyrazach, zbieżne do granicy właściwej lub nie-
właściwej, są asymptotycznie równe, gdy lim
a
n
/b
n
= 1. Zbadać, czy podane ciągi są asymptotycznie
n→∞
równe:
√
(a)
a
n
=
n
2
+ 2,
b
n
= 2n
4
+ 1; (b)
a
n
=
n
4
−
n
3
−
10,
b
n
=
n
4
; (c)
a
n
=
n
1 + 2
n
+ 3
n
,
b
n
= 3;
1
1
,
b
n
=
n
; (e)
a
n
= (n + 1)!,
b
n
=
n
·
n!;
(f*)
a
n
=
n!, b
n
=
a
n
,
(a
>
1).
(d)
a
n
=
n
n
n
3 +5
2 +6
Jeżeli zaś granica lim
a
n
/b
n
jest liczbą dodatnią, to mówimy, że ciągi (a
n
), (b
n
) są tego samego rzędu.
n→∞
Które z podanych par ciągów są tego samego rzędu?
Lista 5
30.
Korzystając z definicji Heinego granicy właściwej lub niewłaściwej funkcji uzasadnić równości:
1
2
= 0;
(c) lim
=
∞.
(a) lim (x
−
2)
5
= 1;
(b) lim
x→∞
x
x→3
x→
2
+
x
−
2
31.
Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć granice:
√
x
2
−
1
x
2
−
4
x
+
x
x
3
−
1
(a) lim
2
;
(b) lim
2
; (c) lim
√
;
(d) lim
4
;
x→1
x
−
x
+ 1
x→2
x
−
x
−
2
x→0
x→1
x
−
1
x
√
x
−
2
−
2
x
2
−
5x + 4
2
x
+ 1
2
+1+
x
;
(e) lim
x
(h) lim
x
; (f) lim
; (g) lim
;
x→∞
x(x
−
5)
x→∞
3 + 2
x→−∞
x→6
x
−
6
√
x
2
+
x
+ 2
tg
2
x
+ 1
sin
2
x
;
(j) lim
;
(k) lim
.
(i) lim
2
x→∞
x→0
1
−
cos
x
x
+1
x→
π
−
tg
x
+ 5
2
(a) lim
x
sgn
x;
x→0
32.
Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją granice:
(b) lim 2
x→0
1
x
3
;
33.
Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić równości:
√
1
2+sin
x
1
(a) lim
+
x
cos
2
= 0; (b) lim
x
3
arc tg = 0; (c) lim
= 0.
x→∞
x→0
x
x
x
2
x→0
34.
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć granice:
sin
2
3x
(a) lim
;
x→0
x
2
1
(d) lim
x
arc tg ;
x→∞
√
x
ln (1 +
3
x)
(g) lim
;
x→0
x
2
x
2
−
4
;
(c) lim
x→2
|x −
2|
1
(d) lim
x
arc tg
.
x→0
x
cos 5x
(e) lim
;
x→
π
cos 3x
2
ln
x
2
−
3
(h) lim
;
x→−2
x
+2
x→0
sin
x
2
−
5x + 4
;
(b) lim
x→4
x
2
−
16
(c) lim
arc sin 2x
;
x→0
arc tg
x
(j) lim (1 + 2x) ;
x→0
1
x
(k) lim [1 + tg(2x)]
ctg
x
;
e
3x
−
1
(f) lim
;
x→0
sin 2x
x
π
−
1
(i) lim
;
x→1
x
−
1
√
√
3
1+
x
−
6
1
−
x
;
(l) lim
x→0
x
x
−
3
(c)
f
(x) =
√
;
x
2
−
9
35.
Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne funkcji:
2x
3
x
3
+
x
2
(a)
f
(x) =
2
;
(b)
f
(x) =
;
x
−
4
(x + 1)
2
√
3
x
1 +
x
2
;
(e)
f
(x) =
x
;
(d)
f
(x) =
x
3
−
2
x
cos
x
;
(h)
f
(x) =
x
−
arc tg
x;
(g)
f
(x) =
x
e
+1
sin
2
x
(f)
f
(x) =
;
x
3
√
(x + 1)
x
−
2
(i)
f
(x) =
.
x
−
1
Lista 6
36.
Dobrać parametry
a, b
∈
R
tak, aby podane funkcje były ciągłe na
R:
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin