MObl_L02.interp.pdf

(119 KB) Pobierz
Politechnika Świętokrzyska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Katedra Zastosowań Informatyki
Metody obliczeniowe
– laboratorium
Instrukcja laboratoryjna nr 2: Interpolacja
Opracował:
dr inż. Andrzej Kułakowski
Data:
1.06.2012 r.
1. Wprowadzenie
Interpolacja:
Interpolacją funkcji nazywa się wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji
f(x)
dla dowolnego argumentu
x
w przedziale [a, b], przy znanych jej wartościach
f(x
0
), f(x
1
),
…,
f(x
n
)
w ustalonych kolejnych punktach
x
0
,
x
1
, …,
x
n
zwanych węzłami interpolacji.
Rys. 1. Węzły interpolacji i wyznaczona krzywa interpolacyjna.
2. Interpolacja wielomianem Lagrange'a
Wzór wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a:
x−x
0
⋅
x
−x
1

x− x
j−1
⋅
x−x
j
1

x−x
n
W
n
x
=
∑
y
j
⋅
x
j
−x
0
⋅
x
j
−x
1

x
j
−x
j
−1
⋅
x
j
−x
j
1

x
j
−
x
n
j
=0
odstępy pomiędzy punktami
x
i
mogą być dowolne.
n
(1)
Przykład 1:
Znaleźć wielomian interpolacyjny metodą Lagrange'a:
Punkty do obliczeń:
i
0
1
x
y
1
3
2
1
2
3
-1
3
4
2
Wzór interpolacyjny Lagrange'a dla 4 punktów:
x− x
1
⋅
x−x
2
⋅
x−x
3
x− x
0
⋅
x− x
2
⋅
x− x
3
W
3
x
=
y
0
⋅
y
1
⋅
x
0
−x
1
⋅
x
0
−
x
2
⋅
x
0
−
x
3
x
1
−x
0
⋅
x
1
−x
2
⋅
x
1
−
x
3
x−x
0
⋅
x−x
1
⋅
x− x
3
x− x
0
⋅
x− x
1
⋅
x−x
2
y
2
⋅
y
3
⋅
x
2
−
x
0
⋅
x
2
−
x
1
⋅
x
2
−x
3
x
3
−x
0
⋅
x
3
−x
1
⋅
x
3
−
x
2
Po podstawieniu punktów z tabeli:
x−2⋅ x−3⋅ x−4
x−1⋅ x
−3⋅
x−4
W
3
x
=3⋅
1⋅
1−2⋅
1−3⋅1−4
2−1⋅2−3⋅2−4
x−1⋅ x−2⋅ x−4
x−1⋅ x−2⋅ x−3
−1⋅
2⋅
3−1⋅3−2⋅3−4
4−1⋅4−2⋅4−3
ciąg dalszy po wykonaniu obliczeń:
1
1
1
1
=− ⋅
x
3
−9⋅x
2
26⋅x−24 ⋅
x
3
−8⋅x
2
19⋅x −12 ⋅
x
3
−7⋅x
2
14⋅x −8 ⋅
x
3
−6⋅x
2
11⋅x−6
2
2
2
3
5
43
= ⋅x
3
−5⋅x
2
 ⋅x0
6
6
Jest to wynik którego szukaliśmy.
(3)
(2)
3. Interpolacja wielomianem Newton'a
Wzór wielomianu interpolacyjnego Newton'a:
y
0
2
y
0
W
n
x
=
y
0
⋅
x−x
0

⋅
x−x
0
⋅
x−x
1

h
2!⋅h
2
y
0

⋅
x−x
0
⋅
x−x
1
⋅
x
−x
n−1
⋅
n
n!⋅h
Metoda Newtona zakłada, że odstępy pomiędzy punktami
x
i
są jednakowe i równe
h.
We wzorze mamy wykorzystane operatory różnic zwykłych, które obliczamy wg schematu:
Obliczenia operatorów w tablicy różnic zwykłych:
i
x
i
n
(4)
0
1
2
3
x
0
x
0
+h
x
0
+2h
x
0
+3h
f
x
i
=
y
i
f
x
0
f
x
0
h
f
x
0
2h
f
x
0
3h
f
x
i
f
x
0
f
x
0
h
f
x
0
2h
2
f
x
i
2
f
x
0
2
f
x
0
h
3
f
x
i
3
f
x
0
Przykład 2:
Znaleźć wielomian interpolacyjny metodą Newtona:
Punkty do obliczeń:
i
0
1
x
y
1
2
1.5
2.5
2
2
3.5
3
2.5
4.0
Obliczenia operatorów w tablicy różnic zwykłych:
i
x
i
f
x
i
=
y
i
f
x
i
 
2
f
x
i
3
f
x
i
0
1
2
3
1.0
1.5
2.0
2.5
2.0
2.5
3.5
4.0
0.5
1.0
0.5
0.5
-0.5
-1.0
Po podstawieniu punktów i operatorów oraz wyliczeniu:
W
3
x
=2.0
0.5
0.5
−1.0
⋅
x−1
1
⋅
x−1⋅ x
−1.5
1
⋅
x
−1⋅
x−1.5⋅ x−2
1
2!⋅
2
3!⋅
2
2
2
3
4
1
1
=− ⋅x
3
7⋅x
2
−10 ⋅x6
3
6
2
Jest to wynik którego szukaliśmy.
4. Zadania do wykonania
a) dla podanego przez prowadzącego zajęcia przykładu, obliczyć wielomian interpolacyjny wybraną metodą.
b) dla podanego przez prowadzącego zajęcia zadania domowego:
- napisać program komputerowy obliczający wielomian interpolacyjny wybraną metodą.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin