Przykład 1

Celem przykładu jest przećwiczenie budowy modeli probabilistycznych dla wyznaczenia wartości ryzyka metodą LDA

1. Wstęp na temat danych do przykładu.
2. Modele Częstości

a)      Podstawowy Model Poissona

3. Modele Dotkliwości

a)      Model Log-Normalny

b)      Generowanie zdarzeń metodą Monte Carlo

c)       Wyliczenie ryzyka (Value at Risk)

Opis danych.

W arkuszu Przyklady.xls mamy dwie tabele. Zawierają one dane dotyczące zdarzeń operacyjnych oraz współczynników opisujących środowisko biznesowe banku tzw. KRI.

W standardowym modelu tabele te powinny zawierać kilka kolumn.

Dla potrzeb przykładu tabele zostały zredukowane.

Baza Strat (Loss Data Collection)

Straty pochodzą z komórki (wg klasyfikacji bazylejskiej):

-          Linia biznesowa: Bankowość Detaliczna 

-          Typ zdarzenia: Klienci, Produkty i Praktyki Operacyjne

1.       Przepisz tabelę Baza Strat do nowego arkusza

Model częstości zdarzeń  -  przygotowanie danych

2.       Zdefiniuj nową kolumnę ROK

3.       Policz liczbę zdarzeń w każdym roku

Model Poissona do liczby zdarzeń w ciągu roku

Dla rozkładu Poissona funkcja gęstości:          fλx=λxe-λx!

Skorzystaj z następującej własności:     EPoissonX=λ

4.       Policz parametr λ dla rozkładu Poissona opisującego liczbę zdarzeń

Dopasuj rozkład Poissona do Liczby zdarzeń w ciągu roku z uwzględnieniem trendu.

Liczba zdarzeń nie jest stała i rośnie wraz z rozwojem „biznesu”. Trzeba uwzględnić zmianę „biznesu” poprzez dołączenie do modelu KRI (np. Dochód).

5.       Wygeneruj kilka liczb o rozkładzie Poissona i wartości parametru λ = 48,125 wykorzystując funkcję z Analizy Danych (Dodatki Excela)

*) Uwaga:  jest to realizacja losowa i podczas zajęć każdy uczestnik uzyska inne wynik.

Dopasuj rozkład Log-normalny do wartości straty

Jako górny próg wybierzmy wartość 2 000 000.

Jako dolny próg wartość 0

Szacowanie parametrów rozkładu Log-normalnego metodą momentów.

Rozkład Log-Normalny ma dwa parametry:  µ ,  σ .

Skorzystamy z własności rozkładu:      x~Log_Normalμ,σ    ⇒  logx ~ Normalμ,σ

czyli:

flog-normalx;μ,σ=1x2πσ2exp-lnx-μ22σ2=fnormallogx;μ,σx

Parametry dla rozkładu normalnego można policzyć standardową metodą.

6.       Policz parametry rozkładu Log-Normalnego

=ROZKŁ.NORMALNY(LN(J4);$G$12;$G$13;0)/J4

Generowanie liczb losowych o zadanym rozkładzie

Jedną z metod generowania liczb losowych jest metoda odwracania dystrybuanty. Załóżmy, że F( ) jest dystrybuantą pewnego rozkładu (dla gęstości f() ) wówczas jeśli p ~ Jednostajny(0;1)   to 

x=F-1p  ma rozkład   ~  F( )

Na tej podstawie można zbudować generator liczb losowych o zadanym rozkładzie

Rozkład Log-Normalny

Dla rozkładu log-normalnego  x=expΦ-1p;mi,sigma

·         Ф() jest dystrybuantą rozkładu normalnego

Rozkład log-normalny poniżej progu można przedstawić przy pomocy wzoru

F-1p=expΦ-1p;μ,σ

Wyliczanie wartości ryzyka VaR

7.       Wygeneruj wartości przykładowe sumy strat w ciągu roku przy założeniu, że liczba strat podlega rozkładowi Poissona a wartość pojedynczej straty jest wartością losową o rozkładzie Log-Normalnym/GPD.

Zadanie polega na połączeniu dwóch rozkładów. Do tego celu najlepiej wykorzystać technikę Monte Carlo.

Algorytm łączenia rozkładów wygląda następująco:

1.       Wygenerować ciąg liczb losowych n=(n1, n2, n3, … ) reprezentujących liczbę zdarzeń (w ciągu jednej jednostki czasu) wykorzystując generator liczb o rozkładzie Poissona.

2.       Wygeneruj ciąg liczb losowych w liczbie n1 o rozkładzie Log-normalnym i policz ich sumę wynik zapamiętaj jako w1.  Następnie wygeneruj ciąg liczb losowych w liczbie n2  o rozkładzie Log-normalnym i policz ich sumę wynik zapamiętaj jako w2.  Powtórz powyższą czynność k razy uzyskując ciąg liczb w=(w1, w2, w3, …, wk).

3.       Policz 99%-percentyl dla ciągu liczb w.

*) Uwaga:  dla uproszczenia algorytmu w EXCELu ciąg liczb n=(n1, n2, n3, … ) podzielmy przez 10.