AMI 01. Logika i zbiory.pdf

(348 KB) Pobierz
Logika
Zadanie 1.
Sprawdź, że następujące wyrażenia są tautologiami
a)
[(p
⇒
q)
⇒
p]
⇒
p
b)
(∼
p
⇒
p)
⇒
p
c)
∼
p
⇒
(p
⇒
q)
d)
(p
∧
q
⇒
r)
⇔
[p
⇒
(q
⇒
r)];
e)
[(p
⇒
q)
∧
p]
⇒
q.
Zadanie 2.
Czy następujące wyrażenia są tautologiami:
a)
p
∨
[(∼
p
∧
q)
∨
(∼
p∧
∼
q)];
b)
∼
[p
∧
(∼
p
∧
q)];
c)
[(p
⇒
q)
∧
(q
⇒
p)]
⇒
(p
∨
q).
Zadanie 3.
Czy następujące zdania są prawdziwe:
a)
∀
x∈R
∃
n∈N
x < n;
b)
∃
n∈N
∀
x∈R
x < n;
c)
∀
x
1
prawo Pierce’a;
prawo Claviusa;
prawo Dunsa – Scotusa;
∃
y∈R
xy <
0;
1
d)
∃
y∈R
∀
x
xy <
0;
e)
∀
x∈R
x
2
+ 2x + 2
>
0;
f )
∃
a>0
∀
x∈R
ax
2
+ 2x + 2
>
0;
g)
∀
b
4
∃
x∈R
x
2
+ 3bx + 1 = 0.
Zadanie 4.
Uzasadnij, że:
a)
(A
∪
B)\C
= (A\C)
∪
(B\C);
b)
A\(B
∪
C)
= (A\B)\C;
c)
(A\B)
∩
(C\D) = (A
∩
C)\(B
∪
D);
d)
(A
∩
B)
=
A
∪
B .
1
Zadanie 5.
Zaneguj wyrażenia:
a)
∀
x∈A
∃
y∈B
∀
z∈C
b)
∀
x∈A
∀
y∈B
c)
∃
x∈A
∀
y∈B
(x
< y)
⇒
(x
< z)
∧
(z
< y)
;
2 ;
f
(x) = 1
∧
f
(y)
(x +
y >
1)
∨
(xy
<
0)
.
2
ANALTZA MATEMATYCZNA ZESTAW I
t .
PoniZszezdanie zapiszw jgzyku potocznym:
a) Vrr6s nlO,
b) %.N n1l
d) 3,.1s 0ln,
e ) V , e n0 - r : 0
n 1-r,:tr,,
f) V,'6ry3-Ew S n,
rn
)
8) Vrrexl"r,€N ?72 n,
h) 3-6ryV,Ery rn ( n,
i) 3-Ery3r,6N rn2 + n2 :
41,
V n:0,
c) lrrerun2 + | :6,
j) V"emfy.R 12 + y2 > L0.
Niech {a"} bqdzie ciqgiem. PoniZsze zdania zapisz w jqzyku potocznym:
a) V",ex an 1ana1,
b) V"ex an*r-an)0,
C) V'ex an 1 an.41,
d) V".N an*L-an)0,
e) VrreN en ) ana1,
f) V",ex an*r - an 10,
B) VreN an) an+r,
h) V"ex antr-en10,
i) V".* an:
an*rt
j) V"eN an*r - &n:0,
8) l"emVleN 0n*1 - an:
h) 3n6pV,-,6^** : Q.
J.
r,
Niech / bgdzie funkcj4. Ponizsze zdania zapisz w jqzyku potocznym:
a ) Y , r , , r e o fr r < r z
b)Y"r,rreor rt{n2
1
g
f("r)<f(rr),
f(rr)<f(rr),
f ("t) > f (*r),
f (rr) > f (rr),
f(*):f(rr),
c) Y*r,"reor rr --r'2 $
d) Yrr,,rent rt 1rz
e)Yrr,,"epf rr<rz
f)Y,ent
-re
I
I
Dt A f(-"):f(r),
8)Y,eor-re Dr A f(-r):-f(r),
h) IrV".pr rITe Dy n f(r+T):f(r).
4. Welmy pod uwagg dowolny, lecz ustalony zbi6r diagram6w statystycznych oraz dowolny, lecz
ustalony zbi6r zestaw6wdanych. Niech p(r,A) oznaczazdaniowq diagram r reprezentujezestaw
danych y . Poni2szezdania zapiszw jgzyku potocznym:
a) V,:v p(r,A),
d) Vv:" p(r,A),
b) l"Vs p(r,y),
e) V"Vv p(r,A),
c) 3yV, p(r,A),
f) I,fs p(r,A).
5. Niech io") bqdzie ciqgiem a / funkcjq. Ponizszezdania zapiszw jqzyku:
a ) l o e n V r > g l n o e N V n le N
ns
b) Vy;63r,oexV,ery nln6
l
4
lon-al1e,
anlM,
c) VutolatoV.,eDr - rol < d ===+ (r) - f (ro)l < e.
l,
lf
6. Niech n bqdzie liczba naturalna. Zapisat nastqpuj4ce funkcje zdaniowe:
a) n jest liczb4parzystq,.
b) n jest sume kwadrat6w dwu liczb naturalnych.
c) n jest liczba pierwszq.
d) Nie istnieje najwigksza liczba naturalna.
7. Zapisa(, nastgpuj4ce funkcje zdaniowe:
a) Nie istnieje liczba kt6rej kwadrat bylby mniejszy od zera.
b) Funkcja / ma dokladnie jedno miejsce zerowe.
c) Miedzy dwiema dowolnymi liczbami rzeczywistymi istnieje trzecia liczba rzeczywista.
d) Ciag {a"} jest rosnecy.
e) Ci4g {a"} jest ograniczony.
f) Ciag {o"} jest zbiezny.
g) Funkcja / jest ci4gla w punkcie 16.
h) z jest sumQ kwadrat6w dw6ch liczb naturalnych.
i) r z dzielenia przez 4 daje resztq 1 lub 2.
j) Kazda bczba z dzielenia
przez 2 daje resztq0 lub 1.
k) Ciag {a"} przyjmuje tylko warto5ci dodatnie
@_
Ab- kuz'&g.i V Ge,, AtL"
ar|,^,.v6v 3 GA,,Exr'st
lD 9-{.d1L
4loso4'Q'*ac4
4^
two'factL-
?
( *;tl^*-*G-
J bqtr*r
I At\
."'otorio
TaUb'
I
dl^ k'ni'lq
i -4tZt.,'*
z+c'h,e&a'i
$ t
€>
-'
g,n3-^ ^Y^=4.::,, =4*4,,-,3;
9i
g .v S.v.- vS*=.Y.5r. = l r.{0,..,,3 ,
3;
e
.
ie$A ,..tn\
\-.^---l
*..ottei.<
T^--F'
c4l''
&L, t"iV,r"<r'
1"r/^.o/;
tslr,uu'V
ielt,..n\
'<='>
K;
ffi<)-
-
,
,
( /{Wynb6 Wlw
\
0
t
\
A)
O-Tnqrat*1
-?al@rd/toie
U
-
(u*n'i+-
\
-l
,
g
ela 5ooal
tn4"^(f'-?4.
-,fin"n(n)e;t9
-(y ^q) +>k p)" qt)
V
lo I
n
- ( p " ?) e) (-p) ("? J \-(y,v -'v e) (
9,)
A , V r . ry ; ) e > 3 , q P 9 ; ) )
(
^, (3 i*r g) e) V;.r P Yt)'
Pa^)a
f i
!4'qa/v\2'
i
d
?l
*t9 ,t)
fne",vt,e
:-
(ru;etL
^iant"t"(^'^3b'-%
t
b,!ardw:4'r-rt-
l f
!"
f*^
I Mo-1^^^-t
6v't/7
(f -) 1) a (*1+-f) )
0-
i
< e( ^ p v ? ) . ,
- ( ? + ? ) e > p ^ ( - ? ) ,

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin