Stochastic Calculus and Finance.pdf

(1226 KB) Pobierz
Steven Shreve: Stochastic Calculus and Finance
P
RASAD
C
HALASANI
Carnegie Mellon University
chal@cs.cmu.edu
S
OMESH
J
HA
Carnegie Mellon University
sjha@cs.cmu.edu
c Copyright; Steven E. Shreve, 1996
July 25, 1997
Contents
1 Introduction to Probability Theory
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
The Binomial Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lebesgue Measure and the Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
Independence of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Correlation and independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Independence and conditional expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
16
22
30
40
40
41
42
44
45
46
47
49
49
50
52
52
53
54
55
57
58
2 Conditional Expectation
2.1
2.2
2.3
A Binomial Model for Stock Price Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.4
An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Further discussion of Partial Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Properties of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Examples from the Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3 Arbitrage Pricing
3.1
3.2
3.3
Binomial Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
General one-step APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risk-Neutral Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1
3.3.2
3.4
3.5
Portfolio Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Self-nancing Value of a Portfolio Process
. . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
60
61
62
62
63
64
67
67
69
70
70
73
74
77
77
79
81
85
85
86
88
89
91
91
92
94
97
97
Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Binomial Model is Complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 The Markov Property
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Binomial Model Pricing and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1
Different ways to write the Markov property . . . . . . . . . . . . . . . .
Showing that a process is Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application to Exotic Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Stopping Times and American Options
5.1
5.2
5.3
American Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Value of Portfolio Hedging an American Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Properties of American Derivative Securities
6.1
6.2
6.3
6.4
The properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proofs of the Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimal Exercise of American Derivative Security . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Jensen’s Inequality
7.1
7.2
7.3
Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimal Exercise of an American Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stopped Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Random Walks
8.1
First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
is almost surely nite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The moment generating function for
Expectation of
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
General First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Example: Perpetual American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Difference Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Distribution of First Passage Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.10 The Reection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Pricing in terms of Market Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
111
Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Radon-Nikodym Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
The State Price Density Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
119
10 Capital Asset Pricing
10.1 An Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 General Random Variables
123
11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5 Marginal Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 Conditional Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.9 Bivariate normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Semi-Continuous Models
131
12.1 Discrete-time Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4
12.2 The Stock Price Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Remainder of the Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5 Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 Stalking the Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 Pricing a European Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13 Brownian Motion
139
13.1 Symmetric Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.4 Brownian Motion as a Limit of Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 Covariance of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.7 Finite-Dimensional Distributions of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.8 Filtration generated by a Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.9 Martingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.10The Limit of a Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.11Starting at Points Other Than 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.12Markov Property for Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.14First Passage Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 The Itˆ Integral
o
153
14.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 First Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.5 Construction of the Itˆ Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
o
14.6 Itˆ integral of an elementary integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
o
14.7 Properties of the Itˆ integral of an elementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159
o
14.8 Itˆ integral of a general integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
o

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin