Żołądek H - Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych.pdf

(1103 KB) Pobierz
Matematyka stosowana
Jakościowa Teoria
Równań Różniczkowych
Zwyczajnych
Henryk Żołądek
zoladek@mimuw.edu.pl
Uniwersytet Warszawski, 2011
Streszczenie.
Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych zaj-
muje miejsce pomiędzy teorią Równań Różniczkowych Zwyczajnych i Teorią
Układów Dynamicznych. Jej główna idea polega na przedstawieniu metod ba-
dania równań różniczkowych, które nie odwołują się do rozwiązywania tych
równań. Dlatego na pierwsze miejsce wysuwane są takie zagadnienia jak stabil-
ność rozwiązań względem zaburzeń warunków początkowych czy strukturalna
stabilność i bifurkacje przy zaburzeniach parametrów (od których układ zależy)
Wersja internetowa wykładu:
http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=rrj
(może zawierać dodatkowe materiały)
Niniejsze materiały są dostępne na
licencji Creative Commons 3.0 Polska:
Uznanie autorstwa — Użycie niekomercyjne — Bez utworów zależnych.
Copyright c Żołądek, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2011. Niniejszy
plik PDF został utworzony 13 kwietnia 2011.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
A
Skład w systemie L TEX, z wykorzystaniem m.in. pakietów
beamer
oraz
listings.
Szablony podręcznika i prezentacji:
Piotr Krzyżanowski; koncept: Robert Dąbrowski.
Spis treści
Wprowadzenie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1. Punkty równowagi pól wektorowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Stabilność w sensie Lapunowa i asymptotyczna stabilność
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Hiperboliczność
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Portrety fazowe autonomicznych pól wektorowych
2.1. Rozwiązania okresowe
. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kryterium Poincar´go–Bendixsona
. . . . . . . . . .
e
2.3. Kryterium Dulaca
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Rysowanie portretów fazowych na płaszczyźnie
. . .
2.4.1. Punkty osobliwe
. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Zamknięte krzywe fazowe
. . . . . . . . . . .
2.4.3. Separatrysy punktów osobliwych
. . . . . . .
2.4.4. Zachowanie na nieskończoności
. . . . . . . .
2.4.5. Orbitalna równoważność
. . . . . . . . . . .
3. Teoria bifurkacji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Wersalność
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Transwersalność
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Bifurkacje kowymiaru 1
. . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Redukcja do rozmaitości centralnej i forma
3.3.2. Bifurkacja siodło–węzeł
. . . . . . . . . . .
3.3.3. Bifurkacja Andronowa–Hopfa
. . . . . . .
3.3.4. Bifurkacje dla cykli granicznych
. . . . . .
4. Równania z małym parametrem
4.1. Uśrednianie
. . . . . . . . . . .
4.2. Teoria KAM
. . . . . . . . . .
4.3. Drgania relaksacyjne
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
26
31
37
43
43
46
46
46
47
50
50
52
59
60
64
65
71
74
74
78
81
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
normalna Poincar´go–Dulaca
e
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5. Chaotyczna dynamika w równaniach różniczkowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1. Wstęp do teorii chaosu i jeden przykład
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2. Podkowa Smale’a, dyfeomorfizmy Anosowa i atraktory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6. Dodatek. Podstawowe pojęcia i twierdzenia teorii
6.1. Definicje
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Twierdzenia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Metody rozwiązywania
. . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Układy i równania liniowe
. . . . . . . . . . . . . .
RRZ
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
102
102
104
107
110
Literatura
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych c Żołądek, Uniwersytet
Warszawski, 2011.
Wprowadzenie
Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych (JTRRZ) zajmuje dosyć szczególne
miejsce zarówno w Matematyce Stosowanej jak i w Matematyce Teoretycznej. Z jednej strony
jest to kontynuacja standardowego wykładu z Równań Różniczkowych Zwyczajnych (RRZ).
Z drugiej strony stanowi ona wprowadzenie do teorii Układów Dynamicznych (UD), jednej z
głównych dyscyplin matematycznych ostatnich dziesięcioleci. Ponadto okazuje się bardzo przy-
datna absolwentom, gdy w pracy zawodowej spotykają się z równaniami różniczkowymi, które
są zwykle mocno skomplikowane i nie nie dają się rozwiązać standardowymi metodami. O ile się
zbytnio nie przechwalam, to pierwszy wykład z JTRRZ na Wydziale MIM został wygłoszony
przeze mnie w drugiej połowie lat 80-tych zeszłego wieku; jak widać, pomysł okazał się udany.
Główna idea jakościowej analizy równań różniczkowych polega na tym, aby bez rozwiązy-
wania samych równań, móc coś powiedzieć o zachowaniu się rozwiązań.
Dlatego na pierwsze miejsce wysuwają się takie własności pewnych rozwiązań jak stabilność.
Jest to stabilność względem zmian warunków początkowych równania. Zauważmy, że nawet przy
podejściu numerycznym do równań różniczkowych wszystkie wyliczenia są obarczone pewnym
nieuniknionym błędem. Zatem dobrze jest, gdy asymptotyczne zachownie się rozwiązań jest
niewrażliwe na zaburzenia stanu początkowego. Na tym z grubsza koncentruje się pierwsza
część skryptu.
Innym istotnym pojęciem tej teorii jest strukturalna stabilność. Jest to stabilność całego
układu, tj. portretu fazowego, względem zaburzeń parametrów, które zwykle występują (i to
w dużych ilościach) po prawej stronie równań. W przypadku braku strukturalnej stabilności
mamy do czynienia z bifurkacjami. Metody jakościowej teorii pozwalają na dosyć precyzyjne i
ścisłe badanie takich bifurkacji. Opisujemy je w trzeciej części skryptu.
W przypadku 2−wymiarowych autonomicznych układów portrety fazowe są koncepcyjnie
dosyć proste, składają się one z punktów osobliwych, ich separatrys i cykli granicznych; do-
chodzą jeszcze rozdmuchania osobliwości i zachowanie na nieskończoności. Warto wspomnieć,
że problem cykli granicznych dla wielomianowych pól wektorowych to do dziś nierozwiązany
szesnasty problem Hilberta. Tym tematom jest poświęcona druga część skryptu.
Czwarta część jest poświęcona kilku zagadnieniom, w których występuje mały parametr (w
różnym kontekście). W szczególności do tej klasy zagadnień zalicza się teoria KAM i teoria
drgań relaksacyjnych; omawiamy je dosyć pobieżnie.
W układach wielowymiarowych pojawiają się nowe zjawiska, z których najważniejszy jest
chaos. Najbardziej elementarym przykadem układu chaotycznego jest słynna podkowa Smale’a,
definiowana dla pojedynczego przekształcenia. W przedostatniej części tego skryptu pokażemy
jak podkowa Smale’a pojawia już w takich elementarych układach jak huśtawka poruszana
okresową siłą zewnętrzną. Podamy też inne przykłady chaotycznych zachowań, jak atraktory.
W Dodatku (Rozdział 6) czytelnik znajdzie zebrane główne fakty z kursowego wykładu z
Równań Różniczkowych Zwyczajnych.
Każdy rozdział zawiera serię zadań (o różnym stopniu trudności), które szanujący się student
powinien rozwiązać.
Na koniec wstępu chciałbym podziękować profesorowi Zbigniewowi Peradzyńskiemu, który
starannie przeczytał rękopis i przekazał mi listę uwag i błędów.
Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych c Żołądek, Uniwersytet
Warszawski, 2011.
1. Punkty równowagi pól wektorowych
Rozważmy nieautonomiczny układ równań różniczkowych (lub pole wektorowe zależne od
czasu)
x
=
v(t, x).
˙
(1.1)
Tutaj
x
należy do pewnej rozmaitości
M
zaś
t
(czas) do przedziału
I
⊂
R.
W tym rozdziale
możemy zakładać, że
M
jest otwartym podzbiorem
R
n
i że pole
v
jest klasy
C
r
, r
2; tak, że
spełnione są założenia twierdzeń z Dodatku.
Przypomnijmy, że punkt
x
∗
taki, że
v(t, x
∗
) = 0
(dla każdego
t)
nazywa się
punktem równowagi;
inne nazwy spotykane w literaturze to:
punkt osobliwy
pola i
punkt krytyczny
pola (głównie w przypadku pola autonomiczne-
go). Oczywiście
ϕ(t)
≡
x
∗
jest rozwiązaniem tego układu. Celem tego rozdziału jest zbadanie
własności rozwiązań układu (1.1) w otoczeniu pnktu równowagi.
1.1. Stabilność w sensie Lapunowa i asymptotyczna stabilność
Najprostszą i pożądaną z punktu widzenia zastosowań własnością puktu równowagi jest jego
stabilność. Poniżej podajemy dwie matematycznie ścisłe definicje stabilności.
Definicja 1.1.
Punkt równowagi
x
∗
równania (1.1) jest
stabily w sensie Lapunowa,
jeśli dla każdego
ε >
0 istnieje
δ >
0 takie, że każde rozwiązanie
x
=
ϕ(t; x
0
;
t
0
) startujące z
δ−otoczenia
puktu
x
∗
,
|x
0
−
x
∗
|
< δ,
pozostaje w
ε−otoczeniu
tego punktu,
|ϕ(t;
x
0
;
t
0
)
−
x
∗
|
<
ε,
dla wszystkich czasów
t > t
0
.
Punkt równowagi
x
∗
jest
asymptotycznie stabilny,
jeśli jest on stabilny w sensie Lapu-
nowa i, dodatkowo, istnieje
ε
0
>
0 takie, że każde rozwiązanie
ϕ(t; x
0
;
t
0
) startujące z punktu
x
0
=
ϕ(t
0
;
x
0
;
t
0
)
ε
0
−bliskiego
punktowi równowagi,
|x
0
−
x
∗
|
< ε
0
, dąży do
x
∗
przy
t
→ ∞.
Przykład 1.2.
Dla
oscylatora harmonicznego
x
=
−ω
2
x,
albo
¨
x
=
y,
˙
y
=
−ω
2
x,
˙
rozwiązania leżą w elipsach (ωx)
2
+
y
2
=
ε
2
(patrz Rysunek 1.1). Stąd dla 0
< ω
1 wynika,
że wybór
δ
=
ωε
spełnia warunki definicji stabilności w sensie Lapunowa. Ponieważ rozwiązania
nie dążą do punktu równowagi
x
=
y
= 0, nie jest on asymptotycznie stabilny.
Przykład 1.3.
Na Rysunku 1.2 przedstawiono portret fazowy pewnego pola wektorowego,
które ma tę własność, że każde rozwiązanie dąży do punktu równowagi (czyli jest spełniony
drugi z warunków na stabilność asymptotyczną). Jednakowoż ten punkt równowagi nie jest
stabily w sensie Lapunowa, ponieważ trajektorie starujące z dołu oraz dowolnie blisko punktu
równowagi wychodzą z czasem z ustalonego otoczenia tego punktu.
Okazuje się, że odpowiednie autonomiczne pole wektorowe można zadać konkretnym wzo-
rem. Mianowicie, ma ono postać
x
=
y, y
=
−2x
2
−
4xy
−
y(x
2
+
y
2
)
2
˙
˙
Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych c Żołądek, Uniwersytet
Warszawski, 2011.
(1.2)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin