Differential- Gleichungen für Dummies.pdf

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Differentialgleichungen für Dummies –
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Differentialgleichungen der Ordnung nach einordnen
Differentialgleichungen erster Ordnung
beinhalten Ableitungen erster Ordnung, wie im folgenden Beispiel
gezeigt:
Differentialgleichungen zweiter Ordnung
beinhalten Ableitungen zweiter Ordnung, wie in den folgenden
Beispielen gezeigt:
Differentialgleichungen höherer Ordnung
beinhalten Ableitungen einer höheren als zweiter Ordnung (was
kaum eine Überraschung darstellen sollte). Differentialgleichungen aller Ordnungen können unter Verwendung
der y′-Notation dargestellt werden, etwa wie folgt:
Zwischen linearen, separierbaren und exakten Differentialgleichungen
unterscheiden
Lineare Differentialgleichungen, um die es in Kapitel 2 geht, beinhalten nur Ableitunggen von y und Terme von
y in der ersten Potenz, keine höheren Potenzen. (Hinweis: Das ist die Potenz, in die die Ableitung erhoben wird,
nicht die Ordnung der Ableitung.) Das folgende beispielsweise ist eine lineare Differentialgleichung, weil sie nur
Ableitungen in der ersten Potenz enthält:
Separierbare Differentialgleichungen, die in Kapitel 3 beschrieben sind, können so dargestellt werden, dass alle
Terme mit x auf der einen, alle Terme mit y auf der anderen Seite der Gleichung erscheinen. Ein Beispiel:
was nach ein paar Unformungen wie folgt geschrieben werden kann:
(2 – y
2
)dy = x
2
dx
Exakte Differentialgleichungen
sind Differentialgleichungen, für die Sie eine Funktion finden, deren partielle
Ableitungen den Termen dieser bestimmten Differentialgleichungen entsprechen. Informationen zu diesen
Gleichungen finden Sie in Kapitel 4.
Homogene und inhomogene Differentialgleichungen definieren
In Teil II finden Sie meine Erklärungen zu homogenen und inhomogenen Gleichungen. Was das ist? Homogene
Differentialgleichungen beinhalten nur Ableitungen von y und Terme mit y, und sie werden gleich 0 gesetzt, wie
im folgenden Beispiel gezeigt:
Inhomogene Differentialgleichungen
sind dasselbe wie homogene Differentialgleichungen, außer dass sie auf
der rechten Seite Terme besitzen können, die nur
x
(und Konstanten) enthalten, wie im folgenden Beispiel
gezeigt:
Sie können inhomogene Differentialgleichungen auch im folgenden Format darstellen: y″ + p(x)y′ + q(x)y = g(x).
Die allgemeine Lösung für diese inhomogene Differentialgleichung lautet:
y = c
1
y
1
, (x) + c
2
y
2
(x) + y
p
(x)
Bei dieser Lösung ist
c
1
y
1
(x) +
c
2
y
2
(x) die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen
Differentialgleichung:
y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0
Und y
p
(x) ist eine spezielle Lösung für die inhomogene Gleichung.
Die Methode der unbestimmten Koeffizienten
Angenommen, Sie haben die folgende inhomogene Differentialgleichung:
y″ + p(x)y′ + q(x)y = g(x)
Die Methode der unbestimmten Koeffizienten besagt, dass wenn Sie eine mögliche Lösung y finden und sie in
die linke Seite der Gleichung einsetzen, Sie schließlich
g(x)
erhalten. Weil
g(x)
nur eine Funktion von
x
ist,
können Sie häufig die Form von
y
p
(x) bis auf einen beliebigen Koeffizienten erraten und dann nach diesen
Koeffizienten auflösen, indem Sie y
p
(x) in die Differentialgleichung einsetzen.
Diese Methode funktioniert, weil Sie es nur mit g(x) zu tun haben, und die Form von g(x) häufig Informationen
darüber beinhaltet, wie eine spezielle Lösung aussehen könnte. Weitere Informationen finden Sie in Kapitel 6.

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