Calka podwójna.pdf

(132 KB) Pobierz
Całka podwójna
DEFINICJA
Podziałem prostok ta
R :
=
{
( x , y )
∈
2
: a
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d
}
nazywa si zbiór
P
zło ony
z prostok tów
R
1
, ..., R
n
, n
∈
,
które całkowicie wypełniaj prostok t
R
i maj parami
rozł czne wn trza.
Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia:
∆
x
k
,
∆
y
k
, k
=
1
, ...,n
- wymiary prostok ta
R
k
(
∆
x
k
)
+
(
∆
y
k
)
, k
=
1
, ...,n
δ
(
P
)
:
=
max
{
d
k
: k
=
1
, ...,n
}
d
k
:
=
Θ
:
=
2
2
- długo
przek tnej prostok ta
R
k
{
(
x , y
)
∈
R
∗
k
∗
k
k
: k
=
1
, ...,n
}
- rednica podziału
P
-
zbiór punktów po rednich podziału
P
DEFINICJA
Niech
f : R
→
b dzie ograniczona na prostok cie
R
oraz niech
P
b dzie podziałem tego
prostok ta, a
Θ
zbiorem punktów po rednich.
SUM CAŁKOW FUNKCJI
f
odpowiadaj c podziałowi
P
oraz punktom po rednim
Θ
nazywa si liczb
σ
(
f , P
)
:
=
n
k
=
1
∗
∗
f
(
x
k
, y
k
)
(
∆
x
k
) (
∆
y
k
)
Interpretacja geometryczna sumy całkowej
z
∗
∗
∗
z
k
=
f x
k
, y
k
(
)
z
=
f ( x, y )
•
0
∗
x
k
∗
y
k
y
R
k
∆
x
k
•
(
∗
)
∆
y
k
R
x
UWAGA
Suma całkowa funkcji po prostok cie jest przybli eniem obj to ci bryły ograniczonej
wykresem funkcji
z = f (x , y),
le cym nad prostok tem
R
oraz płaszczyzn
XOY,
przez
sum obj to ci prostopadło cianów o podstawach
R
k
i wysoko ciach
∗
∗
f
(
x
k
, y
k
)
, k
=
1
, ...,n, n
∈
.
DEFINICJA
CAŁK PODWÓJN PO PROSTOK CIE
R
Z FUNKCJI
f
ograniczonej na
prostok cie
R
definiuje si wzorem
f
(
x , y
)
dxdy :
=
lim
R
n
k
=
1
δ
(
P
)
→
0
∗
∗
f
(
x
k
, y
k
)
(
∆
x
k
) (
∆
y
k
)
o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału
P
prostok ta
R
i punktów po rednich
Θ
.
Mówimy wtedy, e
FUNKCJA
f
JEST CAŁKOWALNA
NA PROSTOK CIE
R.
Interpretacja geometryczna całki podwójnej
(i) Je eli
B
=
{
(
x , y , z
)
∈
3
:
(
x , y
)
∈
R
⊂
2
,
0
≤
z
≤
f
(
x , y
)
}
, to
V
=
(ii) Je eli
B
=
{
(
x , y , z
)
∈
3
f
(
x , y
)
dxdy
.
R
:
(
x, y
)
∈
R
⊂
2
, f
(
x , y
)
≤
z
≤
0
}
, to
V
= −
f
(
x , y
)
dxdy
.
R
UWAGA
(i) Je eli funkcja
f
jest całkowalna na prostok cie
R
, to dla dowolnego podziału tego
prostok ta na prostok ty
R
1
, R
2
o rozł cznych wn trzach zachodzi równo
f
(
x , y
)
dxdy
=
R
R
1
∪
R
2
f
(
x , y
)
dxdy
=
R
1
f
(
x , y
)
dxdy
+
R
2
f
(
x , y
)
dxdy
z
V
=
R
f
(
x , y
)
dxdy
z
=
f ( x, y )
V
1
=
R
1
f
(
x , y
)
dxdy
0
V
2
=
R
2
f
(
x , y
)
dxdy
y
R
1
R
2
R
x
V
=
V
1
+
V
2
(ii) Niech funkcje
f, g
b d całkowalne na prostok cie
R
oraz niech
α
,
β ∈
. Wtedy
α
f
(
x , y
)
+ β
g
(
x , y
)
dxdy
= α
R
R
f
(
x , y
)
dxdy
+ β
R
g
(
x , y
)
dxdy
(iii) Funkcja ci gła na prostok cie
R
jest na nim całkowalna.
TWIERDZENIE
(Fubiniego dla całki podwójnej po prostok cie)
(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Je eli funkcja
f : R
→
jest całkowalna na prostok cie
R :
=
[
a ,b
]
×
[
c,d
]
oraz dla ka dego
x
∈
[
a ,b
]
istnieje całka
i zachodzi równo
d
f
(
x , y
)
dy ,
to istnieje całka iterowana
b
d
b
d
f
(
x , y
)
dy dx
c
a
c
f
(
x , y
)
dxdy
=
R
f
(
x , y
)
dy dx
a
c
DEFINICJA
(całki podwójnej po dowolnym obszarze)
Niech
D
⊂
2
b dzie obszarem ograniczonym. Niech
f : D
→
b dzie ograniczona na
D
oraz niech
R
⊃
D
b dzie prostok tem zawieraj cym obszar
D.
Ponadto niech funkcja
f
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
f
∗
(
x , y
)
:
=
0
,
(
x, y
)
∈
R \ D
CAŁK PODWÓJN Z FUNKCJI
f
PO OBSZARZE
D
definiuje si wzorem
f
(
x , y
)
dxdy :
=
f
∗
(
x , y
)
dxdy
o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e
FUNKCJA
f
JEST
CAŁKOWALNA NA OBSZARZE
D.
D
R
UWAGA
Całka
f
∗
(
x , y
)
dxdy
nie zale y od wyboru prostok ta
R.
R
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
V
B
=
f
(
x , y
)
dxdy
B
=
{
(
x , y , z
)
∈
D
3
:
(
x, y
)
∈
D,
0
≤
z
≤
f
(
x , y
)
}
DEFINICJA
(obszarów normalnych wzgl dem osi
OX, OY
)
(i) Obszar domkni ty
D
⊂
2
nazywa si
OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM
OSI
OX
, gdy
D
=
{
(
x , y
)
∈
2
: a
≤
x
≤
b,
ϕ
( x )
≤
y
≤ ψ
( x )
}
,
gdzie
ϕ
,
ψ
s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [
a,b
] takimi, e
ϕ
( x )
≤ ψ
( x ), x
∈
[
a ,b
]
.
(ii) Obszar domkni ty
D
⊂
2
nazywa si
OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM
OSI
OY
, gdy
D
=
{
(
x , y
)
∈
2
: c
≤
y
≤
d , h( y )
≤
x
≤
g( y )
}
,
gdzie
h, g
s funkcjami okre lonymi i ci głymi w [
c,d
] takimi, e
h( y )
≤
g( y ), y
∈
[
c,d
]
.
TWIERDZENIE
(Fubiniego dla całki podwójnej po obszarze normalnym wzgl dem
OX
)
Je eli funkcja
f : D
→
jest całkowalna w obszarze
D
⊂
2
normalnym wzgl dem osi
OX,
to
f
(
x , y
)
dxdy
=
D
b
ψ
( x )
f
(
x , y
)
dy dx
a
ϕ
( x )
UWAGA
(o całce po prostok cie)
Je eli funkcja
f : R
→
R :
=
( x , y )
∈
{
jest całkowalna w prostok cie
2
: a
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d
b
d
}
to
R
f
(
x , y
)
dxdy
=
f
(
x , y
)
dy dx
a
c
DEFINICJA
(obszaru regularnego)
Obszar
D
⊂
2
nazywa si
OBSZAREM REGULARNYM,
gdy mo na go podzieli na
sko czon ilo obszarów normalnych wzgl dem osi
OX
lub
OY
o wn trzach parami
rozł cznych.
TWIERDZENIE
(o całce podwójnej po obszarze regularnym)
Niech obszar regularny
D
⊂
2
b dzie sum obszarów normalnych
D
1
, ..., D
n
o wn trzach
parami rozł cznych oraz niech funkcja
f
b dzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy
f ( x , y )dxdy
=
D
n
k
=
1
D
k
f ( x , y )dxdy
DEFINICJA
Niech
∆
, D
b d obszarami odpowiednio na płaszczyznach
uOv, xOy.
PRZEKSZTAŁCENIEM OBSZARU
∆
W OBSZAR
D
nazywa si funkcj
ℑ
:
∆ →
D
okre lon wzorem
(
x , y
)
= ℑ
(
u,v
)
=
(
ϕ
(
u,v
)
,
ψ
(
u,v
)
)
,
(
u,v
)
∈ ∆
OBRAZEM ZBIORU
∆
przy przekształceniu
ℑ
nazywa si zbiór
ℑ
(
∆
)
:
=
{
(
x , y
)
: x
= ϕ
(
u,v
)
, y
= ψ
(
u,v
)
,
(
u,v
)
∈ ∆
}
Przekształcenie
ℑ
nazywa si
RÓ NOWARTO CIOWYM,
gdy ró nym punktom
z
∆
przyporz dkowane s ró ne punkty z
D.
DEFINICJA
JACOBIANEM PRZEKSZTAŁCENIA
ℑ
(
u,v
)
=
(
ϕ
(
u,v
)
,
ψ
(
u,v
)
)
,
(
u,v
)
∈ ∆
nazywa si funkcj okre lon wzorem
∂ϕ
(
u,v
)
∂
(
ϕ
,
ψ
)
∂
u
J
ℑ
(
u,v
)
=
:
=
det
∂
(
u,v
)
∂ψ
(
u,v
)
∂
u
∂ϕ
(
u,v
)
∂
v
∂ψ
(
u,v
)
∂
v
TWIERDZENIE
(o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
x
= ϕ
(
u,v
)
(i) przekształcenie
ℑ
:
,
(
u,v
)
∈ ∆
odwzorowuje ró nowarto ciowo wn trze
y
= ψ
(
u,v
)
obszaru regularnego
∆
na wn trze obszaru regularnego
D
(ii) funkcje
ϕ
,
ψ
maj ci głe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze
otwartym zawieraj cym obszar
∆
(iii) funkcja
f
b dzie ci gła na obszarze
D
(iv) jacobian
J
ℑ
przekształcenia
ℑ
jest ró ny od zera wewn trz
∆
Wtedy
f ( x , y )dxdy
=
D
∆
f (
ϕ
(
u,v
)
,
ψ
(
u,v
)
) J
ℑ
(
u,v
)
dudv
DEFINICJA
(współrz dnych biegunowych)
Poło enie punktu
P
na płaszczy nie
XOY
mo na opisa przy pomocy pary liczb
(
ϕ
,
ρ
)
,
gdzie
ϕ
oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi
OX
a promieniem wodz cym punktu
układu współrz dnych
(
ρ ≥
0
)
.
Par liczb
(
ϕ
,
ρ
)
nazywa si
WSPÓŁRZ DNYMI
P
ϕ ∈
[
0
,
2
π
]
lub
ϕ ∈
[
− π
,
π
]
;
Natomiast
ρ
oznacza odległo
(
)
punktu
P
od pocz tku
BIEGUNOWYMI PUNKTU PŁASZCZYZNY.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin