Wektory1.pdf

(61 KB) Pobierz
Algebra Liniowa, 2013/14
GRUPA I
Zadanie 1.
Punkty
A(4,
5),
B(1,
3),
C(0, y)
są współliniowe. Wyznacz
y.
Wektory
1
−
Zadanie 2.
Dany jest punkt
A(1,
2) oraz wektor
→
= [3, 1]. Wyznacz na osi
Oy
taki punkt
B,
by
v
−
−
→
−
wektor
AB
był prostopadły do wektora
→
.
v
−4
Zadanie 3.
Czy wektor [3,
−2,
1] jest wektorem własnym macierzy
2
3
3
−3 −2
? Jeżeli tak, to
−1
0
2
znajdź odpowiadającą mu wartość własną.
1
−2
2
Zadanie 4.
Znajdź wartości i wektory własne macierzy
−2
1 2
.
−2
0 3
GRUPA II
Zadanie 5.
Na odcinku
AB, A(0,
−1,
3),
B(−1,
4, 7) znajdź taki punkt
C,
że
|AC|
:
|CB|
= 1 : 3
Zadanie 6.
Wyznacz wartości parametru
k,
dla których wektor [2,
k,
−2]
tworzy z wektorem [1, 1, 1]
kąt o mierze
π
3
3 0
−1
Zadanie 7.
Czy
λ
= 4 jest wartością własną macierzy
2 3 1
? Jeżeli tak, to znajdź odpo-
−3
4 6
wiadające jej wektory własne.
Zadanie 8.
Znajdź wartości i wektory własne macierzy
GRUPA III
→
−
−
−
Zadanie 9.
Wyznacz wartości parametru
k,
dla których wektory
→
+
k b
oraz
→
są równoległe, gdy
a
c
→
−
→
= [1, 2, 2],
b
= [1, 0, 2],
→
= [3k + 8, 1,
−2]
−
−
a
c
Zadanie 10.
W trójkącie o wierzchołkach
A(2,
2, 1),
B(2,
1, 2),
C(3,
1, 1) wyznaczyć kąt przy wierz-
chołku
A.
Zadanie 11.
Znajdź wektory własne macierzy
własnym
λ
1
= 1,
λ
2
= 3.
Zadanie 12.
Pokaż, że
A
i
A
T
mają takie same wartości własne.
GRUPA IV
−
−
−
−
−
Zadanie 13.
Oblicz długość wektora
→
= 3
→ −
2
→
, gdzie
→
= [2, 1, 0],
→
= [−1, 0, 3]
a
v
u
u
v
Zadanie 14.
Dla jakich wartości parametru
k
wektory [1, 1,
−1],
[2, 0, 4], [k, 1, 1] są liniowo niezależne.
3 0
2 1
odpowiadające wartościom
2
−4
.
−1
2
Algebra Liniowa, 2013/14
Wektory
2
4 0
−1
3
odpowiadające wartości
Zadanie 15.
Znajdź wektory własne macierzy
3 0
2
−2
5
własnej
λ
= 3.
Zadanie 16.
Niech
A
będzie macierzą odwracalną i niech
λ
będzie wartością własną macierzy
A
i
x
odpowiadającym jej wektorem własnym. Pokaż, że
λ
−1
jest wartością własną macierzy
A
−1
, a
x
odpowiadającym jej wektorem własnym.
ODPOWIEDZI
Zadanie 1.
y
= 7/3.
Zadanie 2.
y
= 5.
Zadanie 3.
Tak.
λ
=
−5
Zadanie 4.
λ
1
= 1,
λ
2
= 3,
x
1
= [1, 1, 1],
x
2
= [0, 1, 1]
Zadanie 5.
C(−1/4,
1/4, 4)
√
Zadanie 6.
k
= 2 6
Zadanie 7.
Nie.
Zadanie 8.
λ
1
= 0,
λ
2
= 4,
x
1
= [2, 1],
x
2
= [−2, 1]
Zadanie 9.
k
=
−3
Zadanie 10.
π/3
Zadanie 11. x
1
= [0, 1],
x
2
= [1, 1]
→|
=
√
134
Zadanie 13.
|−
a
Zadanie 14.
k
= 2
Zadanie 15. x
= [1, 2, 1]

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin