SIMRAlgebra_W06.pdf

(1573 KB) Pobierz
Algebra
WYKŁAD 6
ALGEBRA
1
Ogólna postać układu równań liniowych
Rozważmy układ
m
równań liniowych z
n
niewiadomymi
a
11
x
1
a
21
x
1
a
m
1
x
1
a
12
x
2
a
22
x
2
...
a
m
2
x
2
...
...
...
a
1
n
x
n
a
2
n
x
n
a
mn
x
n
b
1
b
2
b
m
o współczynnikach
a
ik
oraz
b
i
.
Macierz układu równań
wymiaru
m
n
ma postać
a
11
A
a
m
1
...
a
1
n
...
...
a
m
,
n
.
ALGEBRA
2
Ogólna postać układu równań liniowych
Definicja
Macierz rozszerzona
jest to macierz powstała przez dopisanie do macierzy
głównej układu równań wektora wyrazów wolnych
C
a
11
a
12
...
a
1
n
b
1
a
21
a
22
...
a
2
n
b
2
...
...
a
m
1
a
m
2
...
a
mn
b
m
(
inne oznaczenie macierzy rozszerzonej
A|B
)
.
ALGEBRA
3
Ogólna postać układu równań liniowych
Twierdzenie
(Kroneckera
– Capellego)
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe
oraz są równe liczbie niewiadomych
rz A = rz C = n
,
to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ
oznaczony
).
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe,
ale są mniejsze od liczby niewiadomych
rz A = rz C < n
,
to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ
nieoznaczony).
Jeżeli rząd macierzy głównej jest mniejszy niż rząd macierzy rozszerzonej
rzA < rz C
,
to układ równań nie ma rozwiązań (układ
sprzeczny).
ALGEBRA
4
Ogólna postać układu równań liniowych
Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych
A X = B
Krok 1.
Wyznaczamy rząd macierzy układu
A
.
Krok 2.
Wyznaczamy rząd macierzy rozszerzonej
A
|
B
.
Jeżeli
rz A <
r
z A
|
B
, to koniec procedury - układ równań jest sprzeczny.
Jeżeli
rz A = rz A
|
B
, to krok 3.
Krok 3.
Rozwiązujemy układ równań.
a) Jeżeli
rz A = rz A
|
B =
liczba niewiadomych,
to układ równań jest oznaczony (można go rozwiązać np. stosując wzory Cramera),
b) Jeżeli
rz A = rz A
|
B = r <
liczba niewiadomych,
układ równań jest nieoznaczony.
Aby go rozwiązać wybieramy z układu
r
równań odpowiadających nieosobliwej
podmacierzy rzędu
r
.
Pozostawiamy po lewej stronie niewiadome związane z podmacierzą, zaś pozostałe
przenosimy na drugą stronę równania i traktujemy jako parametry rozwiązania.
„Odrzucone” równania będą spełnione przez znalezione rozwiązanie.
ALGEBRA
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin