zad-pf-kra-14.pdf

(114 KB) Pobierz
XXVIII Międzynarodowe Mistrzostwa
w Grach Matematycznych i Logicznych
XII Mistrzostwa Polski w GMiL
2013/2014
5 –
12 pól.
Na rysunku obok liczby
czas -
60
minut
czas -
90
minut
czas -
120
minut
czas -
180
minut
umieszczone na zewnątrz figury
złożonej z 12 pól wskazują sumę
dwóch
lub
czterech
liczb
umieszczonych na polach danego
wiersza lub danej kolumny. Jaś
uzupełnił puste pola figury cyframi od 2 do 9 (użył każdej
z nich jeden raz).
Jaką liczbę czterocyfrową odczytał
w trzecim
(licząc od góry)
wierszu tej figury?
Ustawić te cztery cyfry w kolejności od lewej do prawej
i jako liczbę czterocyfrową, bez przerw i przecinków,
wpisać ją w formularz odpowiedzi).
KONIEC KATEGORII CE
Półfinał krajowy
22 marca 2014
CE
: zadania o numerach od
1
do
5;
CM
: zadania o numerach od
1
do
8;
C1
: zadania o numerach od
1
do
11;
C2
: zadania o numerach od
1
do
14;
L1
i
GP:
zadania o numerach od
1
do
16;
czas -
180
min.
L2
i
HC:
zadania o numerach od
1
do
18;
czas -
180
min.
ZADANIA
POCZĄTEK WSZYSTKICH KATEGORII
1
– Jajka na tuziny.
Jeżeli pół tuzina gęsich jajek (1 tuzin
= 12 sztuk) kosztuje 12 zł, a tuzin kurzych jajek kosztuje
6 zł, to
jaki jest łączny koszt, w złotych, tuzina gęsich
jajek i pół tuzina kurzych jajek?
6 –
Świerki.
Powierzchnia małego
świerka,
po lewej, wynosi 8 cm
2
,
a
świerka
pośrodku 15 cm
2
. Wszystkie
trójkąty są takie same. Również
wszystkie prostokąty są takie same.
Jaka jest, w cm
2
, powierzchnia największego
świerka,
po
prawej?
Uwaga: rysunek nie uwzględnia rzeczywistych
długości.
2
– Z trzema kwadratami.
Przesuwając w poziomie te
dwa kwadraty, bez obracania i nakładając
je częściowo na siebie otrzymujemy figurę,
na której pojawiają się trzy, narysowane w
całości,
kwadraty.
Ile
otrzymamy
kwadratów, co najwyżej, przesuwając w
poziomie, bez obracania, trzy
kwadraty
przedstawione
na
rysunku obok?
7 –
Kokieteria.
Po ukończeniu 60 lat, mówi babcia
Marysi, gdy jakiś „grubianin” pytał mnie o wiek, miałam
zwyczaj odpowiadać odwracając kolejność cyfr w liczbie
moich lat. Oczywiście, o ile było to dla mnie korzystne tj.
gdy zmniejszałam swój wiek (np. 36 zamiast 63).
- Czy często skłamałaś w ten sposób, babciu?
- Przez 13 lat „odwracałam” liczbę moich lat w ten sposób,
ale nigdy nie ośmieszyłam się mówiąc,
że
miałam 6, 7 lub 8
lat, ale już nastolatkę „odgrywałam”... Jutro babcia Marysi
będzie obchodzić kolejne urodziny.
Które to będą
urodziny?
3
– Utworzyć 100.
Umieścić cztery znaki dodawania
między niektórymi cyframi od 1 do 7, nie zmieniając przy
tym kolejności cyfr, w taki sposób,
aby otrzymać
„dodawanie” z sumą równą 100
.
Jeżeli istnieją różne rozwiązania, podać tylko jedno z nich.
W formularzu odpowiedzi wypisać te cyfry w podanej
kolejności (od lewej do prawej) wraz z umieszczonymi
między cyframi znakami dodawania (bez przerw, bez
znaku równości oraz bez sumy 100).
8 –
Numeracja stron.
Strony książki są ponumerowane
liczbami naturalnymi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,
13,… Jedna z cyfr w numerze ostatniej strony pojawia się,
w zbiorze numerów stron tej książki, łącznie 20 razy.
Gdyby w książce było o 13 stron mniej, to wtedy ta sama
cyfra byłaby użyta łącznie 14 razy.
Ile stron ma ta
książka?
KONIEC KATEGORII CM
4 –
Kolekcjoner samochodów.
Pan Mathieu jest
zapalonym kolekcjonerem samochodów. Każdy jego
samochód jeździ na 4 kołach. Pewnego razu stwierdził,
że
wszystkie jego samochody mają łącznie 249 kół (razem z
zapasowymi). Okazało się,
że
tylko 17 jego samochodów
ma (każde po jednym) koło zapasowe. W pozostałych
brakuje kół zapasowych; mają tylko po 4 koła.
Ile jest
samochodów w kolekcji Pana Mathieu?
Uwaga do zadań od 9 do 12 oraz do zad. 15.
Aby zadanie bylo
kompletnie rozwiązane należy podać liczbę jego rozwiązań i to
rozwiązanie, jeśli jest jedyne, albo dwa rozwiązania, jeżeli jest ich
więcej. W formularzu odpowiedzi przewidziano dla tych zadań
miejsce na wpisanie 2 rozwiązań (ale może sie zdarzyć,
że
jest
tylko jedno rozwiązanie!).
14 –
Ciąg.
Pierwszy wyraz ciągu a
1
= 20, a drugi wyraz
a
2
= 14. Następnie, każdy kolejny wyraz tego ciągu jest
funkcją dwóch wyrazów bezpośrednio go poprzedzających
i określony wzorem rekurencyjnym: a
p+2
= (1 + a
p+1
)/a
p
,
p≥1. W ten sposób a
3
= ¾ itd.
Jaki jest 2014 wyraz
a
2014
?
Jeśli odpowiedź nie jest liczbą całkowitą, podać
wartość w postaci ułamka nieskracalnego (i – w formularzu
odpowiedzi – podać go w postaci a/b).
KONIEC KATEGORII C2
9
- Obiecująca liczba.
Liczba całkowita dodatnia, która
jest mniejsza od 2014, ma następujące własności:
•
jeżeli odejmiemy od tej liczby 6, wynik będzie
przez 6,
•
jeżeli odejmiemy od tej liczby 7, wynik będzie
przez 7,
•
jeżeli odejmiemy od tej liczby 8, wynik będzie
przez 8,
•
jeżeli odejmiemy od tej liczby 9, wynik będzie
przez 9.
Jaka jest ta liczba?
podzielny
podzielny
podzielny
podzielny
15 –
Dzielenie przez 11.
Mathilda podzieliła pewną
nieujemną, trzycyfrową liczbę całkowitą przez 11.
Niespodzianka! Iloraz tego dzielenia, który jest dokładny
(reszta z dzielenia jest równa zero) równa się sumie
kwadratów wszystkich cyfr liczby wyjściowej.
Jaka jest ta
liczba trzycyfrowa?
16 –
Sztuka nowoczesna.
Duży
prostokąt na rysunku przedstawia
obraz malarza Rec Tangl’a.
Długość i szerokość małego białego
prostokąta
pośrodku
wynosi
odpowiednio 20 i 14 decymetrów. Długości i szerokości
każdego małego szarego prostokąta są niezerowymi
liczbami całkowitymi decymetrów. Pola czterech małych
szarych prostokątów są jednakowe.
Jakie jest, co najmniej,
w dm
2
, pole jednego małego, szarego prostokąta?
Uwagi: rysunek nie uwzględnia rzeczywistych wymiarów
długości i szerokości. Ewentualnie, prostokąt może być
kwadratem.
KONIEC KATEGORII L1, GP
10 –
Ogród Ojca Sifleur’a
. Ojciec Sifleur ma ogród
w kształcie trapezu prostokątnego. Trapez ten rozkłada się
na prostokąt i trójkąt równoramienny (o niezerowym polu),
które stykają się jednym bokiem. Prostokąt, którego
długości boków są liczbami całkowitymi dekametrów
(1dm = 10 m), ma pole równe 1200 m
2
.
Jaka jest, w m
2
,
całkowita powierzchnia ogrodu Ojca Sifleur’a?
11 –
Klasa.
W klasie łączna liczba dziewcząt i chłopców
jest większa niż 20, a mniejsza niż 30. Jeżeli pomnożymy
liczbę dziewcząt przez 7, a liczbę chłopców przez 2 i potem
dodamy te dwie liczby, to otrzymamy 98.
Ile jest w tej
klasie dziewcząt?
KONIEC KATEGORII C1
17 –
Bipiramida.
Figura po
lewej przedstawia bipiramidę o
dwóch wierzchołkach, z których
wychodzi 5 krawędzi i o pięciu
wierzchołkach, z których wycho-
dzą 4 krawędzie. Wszystkie 15
krawędzi mają tę samą długość,
19 mm. Bipiramida jest kamie-
niem szlachetnym. Można ją
rozciąć na 5 identycznych czworościanów (figura po
prawej), w których pięć spośród sześciu krawędzi pokrywa
się z krawędziami bipiramidy.
Jaka jest, w milimetrach,
zaokrąglona do najbliższego pełnego milimetra, długość
szóstej krawędzi bipiramidy, tej, która jest różna od
pięciu innych?
Do formularza odpowiedzi wpisać
całkowitą liczbę milimetrów.
W razie potrzeby przyjąć 0,95 dla cos(π/10).
Uwaga: figura nie uwzględnia rzeczywistych długości.
12 –
Dziadek.
Dziadek Maciej ma więcej niż 65 lat, ale
nie ma jeszcze 100. Liczba lat dziadka zapisuje się tymi
samymi cyframi co liczba lat jego wnuka Grzegorza, a
różnica tych dwóch liczb jest równa 45.
Ile lat ma dziadek
Maciej?
Mamy do
dyspozycji dziewięć
żetonów:
trzy
żetony
z cyfrą 1, trzy inne z cyfrą 2 i trzy
żetony
z cyfrą 3 ułożone, jak na rysunku, na
planszy 3×3. Mamy prawo zmieniać
położenie dwóch dowolnych
żetonów
na
planszy. Taką zmianę położenia dwóch
żetonów
nazwiemy,
w tej grze, jednym ruchem.
Ile ruchów, co najmniej, jest
potrzebnych, aby otrzymać taki układ na planszy,
w którym suma liczb w każdym z trzech wierszy,
w każdej z trzech kolumn i na każdej z dwóch
przekątnych była równa 6 ?
13 –
Dziewięć
żetonów.
18 –
Szczęśliwy rok.
Wyrazy ciągu o numerach 1, 2, 3 i 4
są odpowiednio 13
0
, 13
1
, 13
2
i 2014. Następnie każdy
kolejny wyraz ciągu jest zawsze równy sumie czterech
wyrazów bezpośrednio go poprzedzających. W ten sposób
piątym wyrazem ciągu jest liczba 13
0
+ 13
1
+ 13
2
+ 2014=
=13
3
.
Jak jest liczba cyfr w wyrazie tego ciągu
o numerze 2014 ?
W razie potrzeby przyjąć 0,285 dla
log(1,928) i 0,942 dla log(8,748) (logarytmy dziesiętne).
KONIEC KATEGORII L2, HC

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin