prez_siecz.pdf

(325 KB) Pobierz
Wstep do metod numerycznych
ι
2. R´wnania nieliniowe i ich uklady
o
2.3 Metoda siecznych
Chcemy rozwiaza´ r´wnanie
f
(x) = 0.
c o
ι
Metoda siecznych (dyskretna metoda Newtona), zalo˙ enia:
z
funkcja
f
(x) jest ciagla w odpowiednio du˙ ym otoczeniu
z
ι
szukanego pierwiastka,
potrafimy zaproponowa´ 2 wstepne oszacowania pierwiastka:
c
ι
x
0
i
x
1
.
Jest to metoda dwupunktowa.
1 / 13
Wstep do metod numerycznych
ι
2. R´wnania nieliniowe i ich uklady
o
2.3 Metoda siecznych
Metoda siecznych jako dyskretna metoda Newtona
W metodzie stycznych, jesli mamy oszacowanie
x
1
, to
x
2
=
x
1
−
f
(x
1
)
.
f
(x
1
)
Je´li
x
0
i
x
1
nie sa zbyt odlegle, stosujemy przybli˙ enie
s
z
ι
f
(x
1
)
≈
i dostajemy
x
2
=
x
1
−
f
(x
1
)(x
1
−
x
0
)
f
(x
1
)
−
f
(x
0
)
2 / 13
f
(x
1
)
−
f
(x
0
)
x
1
−
x
0
Wstep do metod numerycznych
ι
2. R´wnania nieliniowe i ich uklady
o
2.3 Metoda siecznych
Metoda siecznych, wz´r iteracyjny
o
Majac oszacowania
x
0
i
x
1
kolejne przybli˙ enia obliczamy wzorem
z
ι
x
k+1
=
x
k
−
f
(x
k
)(x
k
−
x
k−1
)
,
f
(x
k
)
−
f
(x
k−1
)
k
= 1, 2, 3,
. . . .
3 / 13
Wstep do metod numerycznych
ι
2. R´wnania nieliniowe i ich uklady
o
2.3 Metoda siecznych
Metoda siecznych – graficznie
Mamy wykres funkcji
f
(x)
y
f(x)
0
x
2
x
1
x
0
x
Przez punkty odpowiadajace rzednym
x
0
i
x
1
prowadzimy prosta –
ι
ι
ι
sieczna. Jej miejsce zerowe wyznacza przybli˙ enie
x
2
.
z
ι
4 / 13
Wstep do metod numerycznych
ι
2. R´wnania nieliniowe i ich uklady
o
2.3 Metoda siecznych
Metoda siecznych
R´wnanie prostej przechodzacej przez punkty (x
0
;
f
(x
0
)) i
o
ι
(x
1
;
f
(x
1
)):
y
−
f
(x
0
) =
r´wnowa˙ nie
o
z
y
−
f
(x
1
) =
f
(x
1
)
−
f
(x
0
)
(x
−
x
1
).
x
1
−
x
0
f
(x
1
)(x
1
−
x
0
)
f
(x
1
)
−
f
(x
0
)
5 / 13
f
(x
1
)
−
f
(x
0
)
(x
−
x
0
),
x
1
−
x
0
Dla
x
=
x
2
mamy
y
= 0, wiec
ι
x
2
=
x
1
−
itd.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin