W12_Liczby zespolone_2.pdf

(48 KB) Pobierz
12. LICZBY ZESPOLONE cz. 2
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 12.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej
z
=
x
+
iy
≠
0, gdzie
x, y
∈
R,
nazywamy każdą liczbę
ϕ
∈
R
spełniającą układ równań:
x
cos
ϕ
=
z
.
sin
ϕ
=
y
z
Przyjmujemy,
że
argument liczby
z
= 0 nie jest określony. Argumentem głównym liczby zespolonej
z
≠
0 nazywamy argument
ϕ
tej liczby spełniający nierówność 0
≤
ϕ
< 2π. Argument główny liczby
zespolonej
z
oznaczamy przez
arg
z
. Każdy argument
ϕ
liczby zespolonej
z
≠
0 ma postać
ϕ
=
arg
z
+
2
k
π
, gdzie k
∈
Z.
Fakt 12.2 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Ka
ż
d
ą
liczb
ę
zespolon
ą
z
mo
ż
na przedstawi
ć
w postaci:
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
,
gdzie
r
≥
0 oraz
ϕ
∈
R.
Liczba
r
jest wówczas modułem liczby
z,
a
ϕ
jednym z jej argumentów.
Fakt 12.3 (równość liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone
z
1
=
r
1
(
cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
,
z
2
=
r
2
(
cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
, gdzie
r
1
,
r
2
≥
0 oraz
ϕ
1
,
ϕ
2
∈
R,
s
ą
równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
r
1
=
r
2
=
0
albo
r
1
=
r
2
>
0
oraz
ϕ
1
=
ϕ
2
+
2
k
π
dla pewnego
k
∈
Z.
Fakt 12.4 (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech
z
1
=
r
1
(
cos
ϕ
1
+
i
sin
ϕ
1
)
,
z
2
=
r
2
(
cos
ϕ
2
+
i
sin
ϕ
2
)
, gdzie
r
1
,
r
2
≥
0 oraz
ϕ
1
,
ϕ
2
∈
R
b
ę
d
ą
liczbami
zespolonymi. Wtedy
1.
z
1
⋅
z
2
=
r
1
r
2
[
cos(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
+
i
sin(
ϕ
1
+
ϕ
2
)
]
2.
z
1
r
1
=
[
cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
+
i
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
)
]
, o ile
z
2
≠
0.
z
2
r
2
Fakt 12.5 (wzór de Moivre’a)
Niech
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
, gdzie
r
≥
0,
ϕ
∈
R
oraz niech
n
∈
N.
Wtedy
z
n
=
r
n
(
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
)
.
Def. 12.6 (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Ka
ż
d
ą
liczb
ę
zespolon
ą
z
mo
ż
na przedstawi
ć
w tzw. postaci wykładniczej:
z
=
re
i
ϕ
,
gdzie
r
≥
0 oraz
ϕ
∈
R.
Liczba
r
jest wówczas modułem liczby
z,
a
ϕ
jednym z jej argumentów.
Symbol
e
definiujemy nast
ę
puj
ą
co:
e
=
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
,
i
ϕ
i
ϕ
def
PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Def. 12.7 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia
n
∈
N
z liczby zespolonej
z
nazywamy ka
ż
d
ą
liczb
ę
zespolon
ą
w
spełniaj
ą
c
ą
równo
ść
:
w
n
=
z
.
Zbiór pierwiastków stopnia
n
z liczby zespolonej
z
oznaczamy przez
n
z
.
Fakt 12.8 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej)
Ka
ż
da liczba zespolona
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
, gdzie
r
≥
0 oraz
ϕ
∈
R,
ma dokładnie
n
pierwiastków
stopnia
n.
Zbiór tych pierwiastków ma posta
ć
:
n
z
=
{
w
0
,
w
1
,
K
,
w
n
−
1
}
,
gdzie
ϕ
+
2
k
π
ϕ
+
2
k
π
w
k
=
n
r
cos
+
i
sin
dla
k
= 0, 1, …,
n
– 1.
n
n
Fakt 12.9 (interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej)
Zbiór pierwiastków stopnia
n
≥
3 z liczby zespolonej
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
, gdzie
r
= |z| oraz
ϕ
= argz,
pokrywa si
ę
ze zbiorem wierzchołków
n–k
ą
ta foremnego wpisanego w okr
ą
g o promieniu
n
r
i
ś
rodku w pocz
ą
tku układu współrz
ę
dnych. Pierwszy wierzchołek tego wielok
ą
ta jest w punkcie
ϕ
ϕ
, a k
ą
t mi
ę
dzy promieniami wodz
ą
cymi kolejnych wierzchołków jest równy
n
w
0
=
r
cos
+
i
sin
n
n
2
π
.
n
Def. 12.10 (wielomian zespolony)
Wielomianem zespolonym stopnia
n
∈
N
∪
{0} nazywamy funkcj
ę
W: C
→
C
okre
ś
lon
ą
wzorem:
W
(
z
)
=
c
n
z
n
+
c
n
−
1
z
n
−
1
+
K
+
c
1
z
+
c
0
,
gdzie
c
k
∈
C
dla 0
≤
k
≤
n
oraz
c
n
≠
0. Liczby
c
k
, 0
≤
k
≤
n,
nazywamy współczynnikami wielomianu
W.
Def. 12.11 (suma, różnica i iloczyn wielomianów)
Niech
P
i
Q
b
ę
d
ą
wielomianami. Sum
ę
, ró
ż
nic
ę
i iloczyn wielomianów
P
i
Q
okre
ś
lamy nast
ę
puj
ą
co:
(
P
±
Q
)
(
x
)
=
P
(
x
)
±
Q
(
x
) ,
def
(
P
⋅
Q
)
(
x
)
=
P
(
x
)
⋅
Q
(
x
) .
def
Def. 12.12 (podzielność wielomianów)
Mówimy,
ż
e wielomian
S
jest ilorazem, a wielomian
R
reszt
ą
z dzielenia wielomianu
P
przez
wielomian
Q,
je
ż
eli dla ka
ż
dego
x
∈R
(x
∈
C)
spełniony jest warunek
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
⋅
S
(
x
)
+
R
(
x
)
oraz stopie
ń
reszty
R
jest mniejszy od stopnia dzielnika
Q.
Je
ż
eli
R(x)
≡
0, to mówimy,
ż
e wielomian
P
jest podzielny przez wielomian
Q.
PIERWIASTKI WIELOMIANÓW
Def. 12.13 (pierwiastek wielomianu)
Liczb
ę
rzeczywist
ą
(zespolon
ą
)
x
0
nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu
W,
je
ż
eli
W(x
0
) = 0.
Tw. 12.14 (Bezout)
Liczba
x
0
jest pierwiastkiem wielomianu
W
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian
P
taki,
ż
e
W
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
P
(
x
) .
Uwaga
. Reszta z dzielenia wielomianu
W
przez dwumian
x
–
x
0
jest równa
W(x
0
).
Tw. 12.15 (zasadnicze twierdzenie algebry)
Wielomian zmiennej zespolonej stopnia naturalnego
n
ma
n
pierwiastków zespolonych
(uwzgl
ę
dniaj
ą
c krotno
ś
ci).
Tw. 12.16 (o rozkładzie wielomianu w zbiorze liczb zespolonych)
Ka
ż
dy wielomian stopnia naturalnego
n
o współczynnikach zespolonych jest rozkładalny na czynniki
stopnia pierwszego
W
n
(
x
)
=
a
n
(
x
−
x
1
)(
x
−
x
2
)...(
x
−
x
n
) ,
x
∈
C
przy czym współczynnik
a
n
jest współczynnikiem przy
x
n
w wielomianie
W
n
(
x
) , natomiast
x
1
,
x
2
,...,
x
n
s
ą
wszystkimi (niekoniecznie ró
ż
nymi) pierwiastkami nale
żą
cymi do zbioru liczb
zespolonych, z uwzgl
ę
dnieniem ich krotno
ś
ci.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin