Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)
Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.
dla rozkładu wykładniczego: dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
Oczekiwany pozostały czas zdatności
jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu
zdatności pod warunkiem, że w chwili t obiekt jest zdatny.
Możemy za pomocą oczekiwanego pozostałego czasu zdatności r(t) wyrazić charakterystyki funkcyjne niezawodności:
Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t)ulega niewielkim zmianom i dąży do:
Dla rozkładu wykładniczego:
Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:
Niezawodność obiektów naprawialnych(odnawialnych)
Zakładamy, że:
1) proces taki powtarza się nieograniczenie,
2) T1, T2,…są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim
samym rozkładzie prawdopodobieństwa. Niech N(t) będzie
zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień)
powstałych do chwili t. uogólniając
,
Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo
wystąpienia n uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń E[N(t)].
Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla oznaczaną H(t)i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).
W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.
H(t) spełnia poniższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).
Funkcję H(t) wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby
uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu [t1,t2], wynosi ona H(t2)-H(t1)Badając proces odnowy przy korzysta się z następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1 (elementarne twierdzenie odnowy).
Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie F(t) i skończonej wartości oczekiwanej E(T), to
Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi życia obiektu.
Twierdzenie 2 (Blackwella)
Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego o skończonej wartości oczekiwanej E(T) to dla a>0 zachodzi:
Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń w przedziale o długości a zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia obiektu.
Twierdzenie 3 (Smitha)Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej E(T) oraz wariancji D2(T)
to
Proces odnowy o skończonym czasie odnowy (naprawy)
Zmienne T1,T2,…oraz U1,U2,… są zmiennymi losowymi
niezależnymi o rozkładach odpowiednio:
;
WYMIANA W USTALONYM WIEKU
E(Tw) - oczekiwany czas do uszkodzenia obiektu;
w-stały okres
C(w) – jednostkowy koszt utrzymania obiektu; a – koszt
wymiany profilaktycznej; b – koszt naprawy E(Tu) – oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia lub wymiany)
Rzedzian8