model solow-swan.pdf

(177 KB) Pobierz
Bartek Rokicki
Ćwiczenia z Makroekonomii II
Model Solow-Swan
W modelu klasycznym mieliśmy do czynienia ze stałą wielkością czynników produkcji, a
zatem był to model statyczny, który nie pokazywał nam dlaczego dany kraj rozwija się
szybciej niŜ inny. Model Solowa pokazuje jak oszczędności, przyrost naturalny populacji oraz
postęp technologiczny wpływają na stopę wzrostu gospodarczego. Podobnie jak w modelu
klasycznym mamy 2 czynniki produkcji (K i L), które wchodzą w skład funkcji produkcji
opisującej całość produkcji wytworzonej w gospodarce (stąd nazwa – model neoklasyczny).
Y = f(K, L)
Funkcja produkcji moŜe zakładać stałe przychody skali, a więc:
zY = f(zK, zL)
dla
z>0
PoniewaŜ jednak miarą dobrobytu danego kraju jest dochód
per capita
to przyjmując, Ŝe
z=1/L
otrzymujemy wielkość produkcji na 1 osobę:
Y/L = f(K/L,1)
Aby wyrazić wielkości
per capita
przyjmujemy:
y = Y/L
oraz
k = K/L
Wtedy moŜemy zapisać:
y = f(k)
gdzie
f(k) = f(k,1)
Y
=
AK
α
L
1
−
α
W przypadku funkcji Cobba-Douglasa mamy:
Dzieląc obie strony przez L otrzymujemy:
Funkcja produkcji pokazuje nam, Ŝe ilość
kapitału w gospodarce determinuje nam
wielkość produkcji na 1 zatrudnionego.
Nachylenie funkcji produkcji jest równe
krańcowej produktywności kapitału.
Widać wyraźnie, Ŝe krańcowy produkt
kapitału jest malejący – im więcej k tym
mniejszy jest przyrost produkcji na jego
jednostkę.
MoŜemy to wyrazić matematycznie jako:
MPK = f(k + 1) – f(k)
Y
/
L
=
AK
α
L
1
−
α
/
L
⇒
y
=
AK
α
/
L
α
=
Ak
α
y
f
(k )
k
1
Bartek Rokicki
Ćwiczenia z Makroekonomii II
Model Solowa w najprostszej postaci zakłada brak rządu w gospodarce, dlatego:
G=T =0
Czyli dochód
per capita
jest dzielony pomiędzy konsumpcję i inwestycje co zapisujemy jako:
y=c+i
(wszystkie wielkości wyraŜone na 1 pracującego)
Zgodnie z modelem funkcja konsumpcji przyjmuje postać:
c = (1 – s)y
gdzie s oznacza stopę oszczędności
A zatem konsumpcja jest proporcjonalna do dochodu i nie ma konsumpcji autonomicznej.
Podstawiając powyŜsze do funkcji produkcji otrzymujemy:
y = (1 – s)y + i
⇒
sy = i = sf(k)
Oznacza to, Ŝe inwestycje tak jak konsumpcja są proporcjonalne do dochodu. Jednocześnie
wielkość inwestycji zaleŜy takŜe od stopy oszczędności.
PoniewaŜ w modelu Solowa funkcja produkcji jest funkcją zaleŜną od wielkości kapitału, to
siłą rzeczy wzrost gospodarczy jest pochodną zwiększania ilości kapitału. Tymczasem zmiany
ilości kapitału mogą mieć miejsce w dwóch przypadkach:
•
kapitał moŜe rosnąć dzięki inwestycjom
•
kapitał moŜe maleć na skutek deprecjacji (zuŜycia)
PoniewaŜ mieliśmy juŜ wcześniej Ŝe:
i = sf(k)
oraz
y=c+i
y
f
(k )
sf(k)
Z powyŜszego równania wynika jednoznacznie,
iŜ im większa jest ilość kapitału, tym większe są
inwestycje. Zarazem poziom stopy oszczędności
determinuje podział dochodu pomiędzy konsumpcję
i inwestycje.
y
k*
δk
W przypadku deprecjacji zakładamy, Ŝe jakaś stała
część kapitału ulega zuŜyciu kaŜdego roku.
Np. zakładając, Ŝe przeciętna długość Ŝycia
samochodu wynosi 10 lat, naleŜy przyjąć Ŝe jego
wartość deprecjonuje się o 10% rocznie.
Dlatego relacja pomiędzy ilością kapitału
a wielkością deprecjacji jest liniowa.
c
i
k
δk
k
2
Bartek Rokicki
Ćwiczenia z Makroekonomii II
Przyrost kapitału w modelu Solowa
&
&
K = I – δK //L
gdzie
∆K = dK/dt = K
(oba zapisy są równorzędne)
&
K /L = i – δk
&
&
&
&
&
&
k = d(K/L)/dt = ( K *L – L *K)/L
2
= K /L – L /L*K/L = K /L – nk
&
k = i – δk – nk = i – (δ+n)k
Zakładając, Ŝe liczba ludności jest stała (n = 0) to zmianę ilości kapitału pomiędzy jednym
rokiem a drugim moŜna wyrazić jako:
&
k = i – δk = sf(k) – δk
Osiąganie
steady-state
Rysunek obok przedstawia zaleŜność pomiędzy
δk,i
ilością kapitału, inwestycjami i deprecjacją.
Widać, Ŝe im więcej kapitału tym większa jest
produkcja i inwestycje ale teŜ i deprecjacja.
δk
Istnieje tylko jeden poziom kapitału dla którego
inwestycje są równe deprecjacji.
Jeśli gospodarka osiągnie ten poziom
δk* = i*
sf(k)
to wielkość kapitału nie będzie się zmieniać
w miarę upływu czasu –
steady-state level
.
JeŜeli k jest poniŜej tego poziomu to inwestycje
przewyŜszają deprecjację, a więc
capital stock
k
będzie rósł.
k*
k
1
k
2
Jeśli
k
jest powyŜej poziomu ustalonego to deprecjacja przewyŜsza inwestycje – poziom
kapitału musi zmaleć.
Steady-state
reprezentuje długookresową równowagę w gospodarce. Zatem zgodnie z
modelem, niezaleŜnie od tego na jakim poziomie jest kapitał na samym początku i tak w
końcu musi się znaleźć na poziomie wyznaczonym przez
steady-state
. JeŜeli kapitał jest
początkowo na poziomie niŜszym od stanu ustalonego to będzie rósł do chwili gdy go nie
osiągnie. Analogicznie będzie równieŜ rosła produkcja.
Zadanie:
Funkcja produkcji ma postać
Y
=
K
1/ 2
L
1/ 2
, stopa oszczędności wynosi s = 0,3, zaś stopa
deprecjacji δ = 0,1. Jaka będzie wielkość kapitału w
steady-state
w tej gospodarce?
Odp.
y
=
k
oraz
∆k = i – δk = sf(k) – δk
to mamy
PoniewaŜ w
steady-state ∆k =0
Dlatego k* = 9
s/δ=k/ k
3
Bartek Rokicki
Implikacje stanu ustalonego
W stanie ustalonym mamy:
Ćwiczenia z Makroekonomii II
sf(k*) = δk*
⇒
k*/f(k*) = s/δ
Stosunek kapitału do wytworzonego produktu jest miarą kapitałochłonności gospodarki, który
w stanie ustalonym jest stały i równy stosunkowi stopy oszczędności do deprecjacji. JeŜeli
gospodarka nie znajduje się w stanie ustalonym to współczynnik kapitałochłonności będzie
się zmieniał, aŜ do chwili osiągnięcia
steady-state
.
Zmiana stopy oszczędności
δk,i,y
Wzrost stopy oszczędności powoduje
f(k)
przesunięcie funkcji oszczędności w górę.
y
2
Oznacza to, iŜ nakłady inwestycyjne są większe
δk
dla kaŜdego poziomu kapitału.
s
2
f(k)
PoniewaŜ przy poziomie kapitału określającym
δk
2
* = i*
stan ustalony (k*
1
) inwestycje są większe
s
1
f(k)
niŜ deprecjacja to zasób kapitału będzie
rósł, aŜ do chwili osiągnięcia nowego stanu
ustalonego (k*
2
). W nowym stanie ustalonym
zarówno kapitał jak i produkcja są większe.
k
k*
2
k*
1
Widać zatem, Ŝe stopa oszczędności determinuje
poziom kapitału i produkcji. Kraje o niskiej stopie oszczędności będą miały niski poziom
kapitału i niski poziom produkcji, odwrotnie w krajach o wysokiej stopie oszczędności.
Ale w rzeczywistości okazuje się, Ŝe często kraje o niŜszym poziomie oszczędności
charakteryzują się wyŜszym poziomem dochodu. Wynika to z tego, iŜ kaŜdy z nich posiada
inny stan ustalony.
Zmiana stopy wzrostu populacji
Jak pokazaliśmy juŜ wcześniej w rzeczywistości
δk,i,y
zmiana zasobu kapitału
per capita
zaleŜy takŜe od
stopy wzrostu populacji. A zatem mamy:
&
k = i – δk – nk = i – (δ+n)k
WyŜsza stopa wzrostu populacji sprawia,
(δ+n
1
)k* = i*
(δ+n
2
)k* = i*
Ŝe krzywa deprecjacji przesuwa się w
górę. W efekcie spada zasób kapitału i
poziom produkcji. Zgodnie z modelem
kraje o wyŜszej stopie wzrostu populacji będą
miały niŜszy poziom kapitału
per capita
i niŜszą produkcję.
(δ+n
2
)k
(δ+n
1
)k
sf(k)
k
2
*
k
1
*
k
4
Bartek Rokicki
Ćwiczenia z Makroekonomii II
Zadanie
Nie mając Ŝadnego ciekawego pomysłu na zadanie dla swoich studentów el Maestro Rokitek
postanowił sprawdzić, czy uwaŜali oni na ostatnich zajęciach. Dlatego teŜ kolejne pytanie
stawiane biednym, znudzonym studentom brzmi: Jaki jest poziom kapitału w stanie
ustalonym dla funkcji Cobba-Douglasa w postaci
y
=
Ak
α
?
Złota reguła akumulacji kapitału
Jak pokazaliśmy juŜ wcześniej zwiększanie stopy oszczędności w modelu Solowa prowadzi
do wzrostu produkcji i zasobów kapitału. Jednocześnie jednak dla danej krzywej deprecjacji
istnieje tylko jeden optymalny poziom kapitału, przy którym konsumpcja przyjmuje
maksymalną wartość. PoniewaŜ dobrobyt danego społeczeństwa zaleŜy od poziomu
konsumpcji to kaŜdy naród powinien wybrać taką stopę oszczędności, która będzie
maksymalizować konsumpcję.
Pamiętając o tym, Ŝe oszczędności to róŜnica pomiędzy dochodem i konsumpcją moŜemy
zapisać:
&
k = f(k) - c – (δ+n)k
dlatego
ale w
steady-state
mamy
&
k=0
0 = f(k*) – c* – (δ+n)k*
⇒
c* = f(k*) – (δ+n)k*
Aby otrzymać formułę złotej reguły wystarczy zmaksymalizować konsumpcję w stanie
ustalonym wobec kapitału:
dc*/dk* = f’(k*) – (δ+n) = 0
⇒
f’(k*) = (δ+n) = MPK
W interpretacji graficznej powyŜszy wynik oznacza, Ŝe konsumpcja jest maksymalna wtedy
gdy nachylenie funkcji produkcji jest równe
(δ+n)
(odległość między funkcją produkcji i
krzywą deprecjacji jest tutaj maksymalna).
δk,i
Na wykresie obok pokazane jest, Ŝe dla
poziomu kapitału przy którym nachylenie
funkcji produkcji jest równe
(δ+n)
konsumpcja
przyjmuje maksymalną wartość.
Warto pamiętać o tym, Ŝe w zaleŜności od tego
jaka jest stopa oszczędności, gospodarka moŜe
lub nie osiągnąć punkt k*.
JeŜeli gospodarka znajduje się na prawo od
punktu k* to oznacza, Ŝe jest ona nieefektywna
gdyŜ nie maksymalizuje konsumpcji.
f(k)
c
gold
(δ+n)k
k*
k
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin