calki potrójne.pdf

(403 KB) Pobierz
Całki potrójne
Całki potrójne po prostopadło´cianie.
s
Całki potrójne po obszarach normalnych.
Zamiana zmiennych w całkach potrójnych.
Zastosowania całek potrójnych.
Małgorzata Wyrwas
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Całki potrójne – str. 1/42
A
UTOMATYKA I
R
OBOTYKA
,
SEM
. II,
rok. akad. 2009/2010
´
Podział prostopadłoscianu
˙
Rozwazmy prostopadło´cian
P
okre´lony w przestrzeni układu
s
s
OXY Z
nierówno´ciami:
s
P
:
a
x
b
∧
c
y
d
∧
p
z
q
oraz funkcj˛ trzech zmiennych
f
(x,
y, z)
okre´lona i ograniczona
e
s ˛
˛
w tym prostopadło´cianie.
s
˙
Podziałem prostopadło´cianu
P
nazywamy zbiór
∆
n
złozony z
s
prostopadło´cianów
P
1
, P
2
, . . . , P
n
, które całkowicie wypełniaja
s
˛
P
oraz maja parami rozłaczne wn˛ trza (tzn.
(intP
i
)
∩
(intP
j
) =
∅,
˛
˛
e
dla
i
=
j).
Całki potrójne – str. 2/42
A
UTOMATYKA I
R
OBOTYKA
,
SEM
. II,
rok. akad. 2009/2010
Oznaczenia w definicji całki po prostopadło´cianie
s
∆x
k
,
∆y
k
,
∆z
k
- wymiary prostopadło´cianu
P
k
, gdzie
s
1
k
n;
(∆x
k
)
2
+ (∆y
k
)
2
+ (∆z
k
)
2
- długo´c przekatnej
s´
˛
k
n;
d
k
=
prostopadło´cianu
P
k
, gdzie
1
s
1
k n
´
δ
n
= max
d
k
- srednica podziału
∆
n
;
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
A
=
{A
1
(x
∗
, y
1
, z
1
),
A
2
(x
∗
, y
2
, z
2
),
. . . , A
n
(x
∗
, y
n
, z
n
)},
1
2
n
gdzie
∗ ∗ ∗
A
k
(x
k
, y
k
, z
k
)
∈
P
k
dla
1
k
n,
A
- zbiór punktów
po´rednich podziału
∆
n
.
s
Całki potrójne – str. 3/42
A
UTOMATYKA I
R
OBOTYKA
,
SEM
. II,
rok. akad. 2009/2010
´
Suma całkowa funkcji po prostopadłoscianie
Niech funkcja
f
b˛ dzie ograniczona na prostopadło´cianie
P
oraz
e
s
niech
∆
n
b˛ dzie podziałem tego prostopadło´cianu, a
A
zbiorem
e
s
punktów po´rednich.
s
Suma całkowa funkcji
f
odpowiadajaca podziałowi
∆
n
˛
˛
˛ ˛
oraz punktom po´rednim
A
nazywamy liczb˛
s
e
n
k=1
∗ ∗ ∗
f
(x
k
, y
k
, z
k
)
·
(∆x
k
)
·
(∆y
k
)
·
(∆z
k
)
.
Całki potrójne – str. 4/42
A
UTOMATYKA I
R
OBOTYKA
,
SEM
. II,
rok. akad. 2009/2010
´
Całki potrójne po prostopadłoscianie
Niech funkcja
f
b˛ dzie ograniczona na prostopadło´cianie
P
.
e
s
Całk˛ potrójna funkcji
f
po prostopadło´cianie
P
definiujemy
e
˛
s
wzorem
f
(x,
y, z)dxdydz
= lim
P
def
n
δ
n
→0
∗ ∗
f
(x
∗
, y
k
, z
k
)
·
(∆x
k
)
·
(∆y
k
)
·
(∆z
k
)
k
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równo´ci jest wła´ciwa i nie
s
s
˙
zalezy od sposobu podziału
∆
n
prostopadło´cianu
P
ani od
s
sposobu wyboru punktów po´rednich
A.
s
˙
Mówimy wtedy, ze funkcja
f
jest
całkowalna na prostopadło´cianie
P
.
s
Całki potrójne – str. 5/42
A
UTOMATYKA I
R
OBOTYKA
,
SEM
. II,
rok. akad. 2009/2010

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin