algebra.pdf

(172 KB) Pobierz
ALGEBRA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA
¾
¾
Wszystkie warianty kursu
Zadania z listy oznaczone gwiazdka
( )
sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny. Jednak
¾
¾
¾
nie wychodza one poza program kursu. Odpowiedzi do zada´ z listy mozna zwery…kowa´ za pomoca
¾
n
c
¾
·
programów komputerowych. Istnieje wiele programów do oblicze´ numerycznych i symbolicznych. Pro-
n
gramy te mozna wykorzysta´ np. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ciagów i funkcji, wyz-
c
¾
·
naczania ca÷ i pochodnych, rozwiazywania równa´ algebraicznych i rózniczkowych, bada´ statysty-
ek
¾
n
n
·
cznych. Polecamy strone internetowa
Wolfram Alpha
oraz darmowe programy:
Maxima, Microsoft
¾
¾
Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab,
a takze programy p÷
atne:
Derive, Mathematica, Matlab,
·
Maple, Scienti…c WorkPalce.
Uzdolnionych studentów zachecamy do udzia÷ w egzaminach na ocene celujaca z algebry i analizy.
¾
u
¾
¾ ¾
Zadania z tych egzaminów mozna znale´ ´ na stronie internetowej
zc
·
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista zada´
n
Wyrazenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
·
Studenci wydzia÷ W2 oraz W4 opracowuja ten materia÷
ów
¾
samodzielnie.
1. Poda´ przyk÷ liczb rzeczywistych
x; y; u; v
oraz liczb naturalnych
n; m;
dla których
nie za-
c
ady
chodza
podane równo´
¾
sci:
p
p
p
a)
(x +
y)
2
=
x
2
+
y
2
;
b)
x
+
y
=
x
+
y;
c)
sin (x +
y)
= sin
x
+ sin
y;
d)
tg
2x = 2
tg
x;
e)
x
y
+
u
v
=
x+u
;
y+v
f)
(n +
m)!
=
n!
+
m!:
2. Obliczy´ lub upro´ c wyrazenia:
c
sci´
·
4
a
2
b
3
3. Obliczy´ :
c
q
1
a)
7
9
;
r q
p
( )
3
x
2
y
4
z
3
3
5
3
4
12
5
2
5
x
15
y
17
;
f)
a)
3
8
;
b)
4
4
3
6
;
c)
(a
4
b
2
)
3
;
d)
x
3
y
5
z
3
;
e)
y x
q
b)
3
2
10
;
27
q
1
c)
4
5
16
:
0:001
3
10
24
:
100
7
4. Podane wyrazenia zapisa´ w postaci potegi
2:
c
¾
·
p
p
p
4
d)
2
3
2;
e)
a)
4
2
8
3
;
b)
2
3
;
c)
4
5
8;
p
4
2
;
16
f)
6. Wykona´ wskazane dzia÷
c
ania:
a)
(u +
v)
2
(u
v)
2
;
h
3 3
i
a b
c)
(a +
b)
a
2
b
2
b)
a
b
5. Wy÷ c czynnik spod znaku pierwiastka:
aczy´
¾
q
q
p
p
p
p
4
3
250
4
;
e)
3
16a
9
;
f)
4
4a
4
:
a)
72;
b)
;
c)
162;
d)
3x
81
b
8
x
2
+y
2
y
q
3
32
p
:
2
2x : (x
2
a c
a
2
+ac+c
2
y
2
) ;
+ 1 ;
d)
a
3
b
3
:
a
2
b bc
2
1
7. Podane u÷
amki uwolni´ od niewymierno´ w mianowniku:
c
sci
a)
2
p
;
3
b)
6
p
;
4
2
c)
5
11
p
3
;
d)
p p
p
3
p
2
;
3+ 2
e)
p
5
:
3
2+1
8. Wskaza´ wieksza z liczb w´
c ¾ ¾
sród podanych par:
p
p p
p
11; 13
12;
a)
2
13
;
4
7
;
b)
12
p
p
p
p p
c)
9
20
;
27
13
;
d)
7
3;
8
3;
e)
2 38; 37 + 39:
9. Upro´ c wyrazenia:
sci´
·
a)
x
3
8
;
x
2
4
(a
b)
5
:
(b
a)
3
b)
a
3
+27b
3
;
a
5
+243b
5
c)
x
4
+2x
2
y
2
+y
4
;
x
6
+y
6
d)
x
2
p
1
;
1
x
e)
10. *Uzasadni´ , ze podane liczby sa niewymierne:
c ·
¾
p
p
p
a)
5;
b)
3
2;
c)
log
2
3
d)
cos
12
:
11. Za pomoca indukcji matematycznej uzasadni´ , ze dla kazdej liczby naturalnej
n
zachodza tozsamo´
¾
c ·
¾ ·
sci:
·
a)
1 + 3 +
: : :
+ (2n
b)
1
12
1) =
n
2
;
=
n
;
n+1
+
1
23
+
:::
+
1
n(n+1)
1
12. Metoda indukcji matematycznej uzasadni´ nierówno´
¾
c
sci:
a)
2
n
> n
2
dla
n
>
5;
b)
1
1
2
=
1
(3
n
1) ;
2
h
i
2
n(n+1)
3
3
3
d)
1 + 2 +
: : :
+
n
=
:
2
c)
1 + 3 +
: : :
+ 3
n
+
c)
n! >
2
dla
n
>
4;
e)
n! <
n n
2
1
2
2
n
+
:::
+
1
n
2
6
2
1
n
dla
n
2
N;
1
oraz
n
2
N
(nierówno´ c Bernoulliego);
s´
d)
(1 +
x)
n
>
1 +
nx
dla
x
>
dla
n
>
6:
13. Pokaza´ , ze dla kazdej liczby naturalnej
n
liczba:
c ·
·
a)
n
5
n
jest podzielna przez
5;
b)
8
n
+ 6
jest podzielna przez
7:
14. *Uzasadni´ , ze
n
prostych moze podzieli´ p÷
c ·
c aszczyzne na maksymalnie
¾
·
ile obszarów p÷
aszczyzne mozna podzieli´
n
okregami?
¾
c
¾
·
15. Zastosowa´ wzór dwumianowy Newtona do wyraze´ :
c
·n
p
7
p
p
1 5
a)
(2x +
y)
4
;
b)
c
2 ;
c)
x
+
x
3
;
d)
(
u
+
4
v)
8
:
16. *Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczy´ sumy:
¾
c
n
n
n
P
n
P
n
P
n k
( 1)
k
:
2 ;
c)
a)
;
b)
k
k
k
k=0
k=0
k=0
1 15
a
2
3
x
3
n(n+1)
2
+ 1
obszarów. Na
17.
a)
W rozwinieciu dwumianowym wyrazenia
a
3
+
¾
·
p
4
b)
W rozwinieciu dwumianowym wyrazenia
¾
x
5
·
znale´ ´ wspó÷
zc
czynnik stojacy przy
a
5
;
¾
7
p
znale´ ´ wspó÷
zc
czynnik stojacy przy
4
x:
¾
Geometria analityczna na p÷
aszczy´ nie
z
Studenci wydzia÷ W2 oraz W4 opracowuja ten materia÷
ów
¾
samodzielnie.
2
3
18. Niech
~
= ( 2; 4)
;
~
= (1; 4)
:
Wyznaczy´ wektor
u
=
2
~
a
b
c
~
a
2
~
b:
19. Trójkat jest rozpiety na wektorach
~
;
~
Wyrazi´ ´
¾
¾
a b:
c srodkowe tego trójkata przez wektory
~
;
~
¾
a b:
20. Niech
~
A
;
~
B
beda wektorami wodzacymi odpowiednio punktów
A; B
oraz niech punkt
P
dzieli
r r
¾ ¾
¾
odcinek
AB
w stosunku
2 : 3:
Znale´ ´ wektor wodzacy punktu
P:
zc
¾
21. *Za pomoca rachunku wektorowego pokaza´ , ze ´
¾
c · srodki boków dowolnego czworokata sa wierz-
¾
¾
cho÷
kami równoleg÷
oboku.
22. Wyznaczy´ cosinus kata, jaki tworza wektory:
c
¾
¾
a)
u
= (1; 2)
;
~
= (3; 5) ;
~
v
b)
u
= (1; 1)
;
~
= ( 1; 7)
:
~
v
23. Równoleg÷
obok jest rozpiety na wektorach
~
= ( 3; 4)
;
~
= (1; 2).
Wyznaczy´ kat ostry miedzy
¾
a
b
c ¾
¾
przekatnymi równoleg÷
¾
oboku.
24. D÷ sci wektorów
~
;
~
wynosza odpowiednio
3; 5:
Znamy iloczyn skalarny
~ ~
=
ugo´
a b
¾
a b
~ ~
a b
2~ + 3
~
:
a
b
2:
Obliczy´
c
25. Pokaza´ , ze czworokat o wierzcho÷
c ·
¾
kach
A
= (0; 0)
; B
= (5; 2)
; C
= (3; 7)
; D
= ( 2; 5)
jest
kwadratem.
26. Wyznaczy´ równanie prostej, która przechodzi przez punkt
P
= ( 1; 3)
i tworzy kat
120
o
z
c
¾
dodatnia cze´ a osi
Ox:
¾ ¾sci ¾
27. Napisa´ równanie prostej przechodzacej przez punkty
P
1
= (2; 3)
; P
2
= ( 3; 7)
:
c
¾
28. Znale´ ´ przeciecia prostej
zc
¾
l
:
x
= 4 2t;
y
= 6 +
t;
gdzie
t
2
R;
z osiami uk÷ wspó÷ ednych. Czy punkt
P
= (4; 7)
nalezy do prostej?
adu
rz ¾
·
29. Znale´ ´ punkt wspólny prostych:
zc
k
:
x
= 1
t;
y
= 3 +
t;
gdzie
t
2
R;
l
:
x
= 2t;
y
= 3
t;
gdzie
t
2
R;
30. Znale´ ´ równanie prostej, która przechodzi przez punkt
P
= ( 1; 2)
i jest
zc
a)
równoleg÷ do prostej
3x
a
y
+ 2 = 0;
b)
prostopad÷ do prostej
x
+
y
= 0:
a
31. Dla jakiej warto´ parametru
m;
odleg÷s´ punktów
P
= (1; 0)
i
Q
= (m + 3; 2)
jest równa
4?
sci
o´ c
32. Wyznaczy´ odleg÷s´ punktu
P
0
= ( 4; 1)
od prostej
l
o równaniu
3x + 4y + 12 = 0:
c
o´ c
33. Znale´ ´ odleg÷s´ prostych równoleg÷
l
1
; l
2
o równaniach odpowiednio
x
zc
o´ c
ych
15 = 0:
2y = 0;
3x + 6y
34. Obliczy´ wysoko´ c trójkata o wierzcho÷
c
s´
¾
kach
A
= (0; 0)
; B
= ( 1; 3)
; C
= (2; 5)
opuszczona z
¾
wierzcho÷
C:
ka
35. *Znale´ ´ równania dwusiecznych katów wyznaczonych przez proste o równaniach
3x + 4y
zc
¾
0; 4x 3y + 5 = 0:
2=
Krzywe stozkowe
·
Studenci wydzia÷ W2 oraz W4 opracowuja ten materia÷
ów
¾
samodzielnie.
3
36. Napisa´ równanie okregu, którego ´
c
¾
srednica jest odcinek o ko´ cach
A
= ( 1; 3),
B
= (5; 7)
:
¾
n
37. Wyznaczy´ wspó÷ edne ´
c
rz ¾
srodka i promie´ okregu
x
2
n
¾
4x +
y
2
+ 6y + 2 = 0:
38. Znale´ ´ równanie okregu opisanego na trójkacie
ABC
o wierzcho÷
zc
¾
¾
kach
A
= (0; 0),
B
= (8; 0),
C
= (0; 6).
39. Znale´ ´ równanie okregu, który przechodzi przez punkty
P
= (3; 4),
Q
= (5; 2)
i ma ´
zc
¾
srodek na osi
Ox.
40. Wyznaczy´ równanie okregu, który jest styczny do obu osi uk÷ wspó÷ ednych oraz przechodzi
c
¾
adu
rz ¾
przez punkt
A
= (5; 8):
Ile rozwiaza´ ma zadanie?
¾ n
41. Znale´ ´ równanie stycznej okregu
x
2
+
y
2
= 25:
zc
¾
a)
w punkcie
( 3; 4);
b)
przechodzacej przez punkt
( 5; 10);
¾
c)
równoleg÷ do prostej
x
ej
y
4 = 0;
d)
prostopad÷ do prostej
x
+ 2y = 0:
ej
42. Wyznaczy´ osie, wspó÷ edne ognisk oraz mimo´
c
rz ¾
sród elipsy
x
2
y
2
+
= 1:
16
9
43. Punkty
F
1
= ( 5; 0)
; F
2
= (5; 0)
sa ogniskami elipsy. Znale´ ´ równanie tej elipsy, jezeli widomo,
¾
zc
·
ze jednym z jej wierzcho÷
ków jest punkt
W
= (0; 3)
·
44. Naszkicowa´ elipse o równaniu
4x
2
c
¾
8x + 9y
2
+ 36y + 4 = 0:
45. Wyznaczy´ osie, wspó÷ edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli
c
rz ¾
x
2
144
46. Narysowa´ hiperbole wraz z asymptotami:
c
¾
(y + 5)
2
(x 2)
2
a)
= 1;
16
9
b)
4x
2
25y
2
+ 8x = 0:
47. Wyznaczy´ wspó÷ edne ogniska, wierzcho÷ oraz poda´ równanie kierownicy paraboli o równa-
c
rz ¾
ka
c
niu:
a)
y
2
= 12x;
b)
y
=
x
2
+ 6x:
48. Napisa´ równanie paraboli, której:
c
a)
kierownica jest prosta
y
=
¾
2;
a punkt
W
= ( 1; 6)
- wierzcho÷
kiem;
b)
kierownica jest prosta
x
= 1;
a punkt
W
= (5; 1)
- wierzcho÷
¾
kiem.
49. *Jakie krzywe przedstawiaja równania:
¾
a)
x
2
y
2
+ 4 = 0;
b)
(x
y)
2
= 1;
c)
x
2
+
y
2
= 2xy?
y
2
= 1:
25
Macierze
4
50. Dla podanych par macierzy
A; B
wykona´ (je´ to jest mozliwe) wskazane dzia÷
c sli
ania
3A
·
2
AB; BA; A
:
1 4
0
6
a)
A
=
; B
=
;
2 0
8 2
A
= 1
2 3
1
6
0
7
c)
A
=
6 7
;
4
3
5
0
2
1
d)
A
=
4
2
3
b)
3 2
; B
= 2
4 0 ;
1
B;
2
A
T
;
B
=
2 1 0 5 ;
3
2 0
B
=
4
4 1
5
:
0 3
3
1
2
3
1 0
4 3
3
@4
3 3
5
X
A
=
X+
4
0 6
5
:
2 5
1 2
3 6
x
+2
y
+3
2
=
3
0
y z
T
0
1
0
51. Rozwiaza´ równanie macierzowe
¾ c
02
3
1
4
5
;
2
2
52. Znale´ ´ niewiadome
x; y; z
spe÷ ace równanie
zc
niaj ¾
:
53. Poda´ przyk÷ macierzy kwadratowych
A; B;
które spe÷ a podane warunki:
c
ady
niaj ¾
a)
AB
6
=
BA;
b)
AB
=
0;
ale
A
6
=
0;
B
6
=
0;
c)
A
2
=
0;
ale
A
6
=
0:
54. *Uzasadni´ , ze iloczyn:
c ·
a)
macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierza diagonalna;
¾
¾
b)
iloczyn macierzy trójkatnych dolnych tego samego stopnia jest macierza trójkatna dolna.
¾
¾
¾ ¾
¾
55. *Pokaza´ , ze kazda macierz kwadratowa mozna przedstawi´ jednoznacznie jako sum¾ macierzy
c ·
¾
c
e
· ¾
·
symetrycznej
A
T
=
A
i antysymetrycznej
A
T
=
A
. Napisa´ to przedstawienie dla macierzy
c
2
3
0 1 4
2
6
3 5 2
8
7
7
:
B
=
6
4
2 4
3
4
5
6 0 0
1
56. *Macierze kwadratowe
A; B
sa przemienne, tzn. spe÷ a równo´ c
AB
=
BA:
Pokaza´ , tozsamo´
¾
niaj ¾
s´
c ·
sci:
a)
(A
B)
(A +
B)
=
A
2
B
2
;
b)
(BA)
2
=
A
2
B
2
;
c)
A
2
B
3
=
B
3
A
2
:
57. Dla podanych macierzy
A
obliczy´
A
n
dla kilka poczatkowych liczb naturalnych
n;
nastepnie
c
¾
¾
wysuna´ hipoteze o postaci tych poteg i uzasadni´ ja za pomoca indukcji matematycznej:
¾
c
¾
¾
c ¾
¾
2
3
2
3
2
3
1 0 0
2 0 2
1 1 0
2 0
5
;
b)
A
=
4
0 2 0
5
;
c*)
A
=
4
0 1 1
5
:
a)
A
=
4
0
0 0 3
2 0 2
0 0 1
58. *W zbiorze macierzy rzeczywistych znale´ ´ wszystkie rozwiazania podanych równa´ :
zc
¾
n
0 1
4 0
0 0
a)
X
2
=
;
b)
X
2
=
c)
X
2
=
:
0 9
0 0
1 0
Wyznaczniki
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin