Paweł Szczygieł, AiR, A3.2, sem. 5, 99134
Identyfikacja wybranego obiektu (procesu) fizycznego (technologicznego)
1. Wybór obiektu nieliniowego
Wybór obiektu do identyfikacji podczas tego projektu sprawił mi bardzo wiele kłopotów. Bardzo długo zastanawiałem się nad jego wyborem, gdyż: musiał być nieliniowy, nie mógł to być żaden z „antyprzykładów”, czyli modeli które przychodzą na myśl jako pierwsze, a sam opis matematyczny nie mógł być przesadnie trudny. Ostatecznie jako obiekt do dalszej identyfikowania wybrałem siłownik hydrauliczny, ponieważ urządzenia tego typu podobnie jak aktuatory elektryczne i pneumatyczne bardzo często wykorzystywane są w automatyce przemysłowej.
2. Zasada działania
Element wykonawczy na jakim się skupiłem to siłownik hydrauliczny jednostronnego działania ze sprężyną powrotną. Rysunek Rys. 2.1 pokazuje uproszczoną budowę takiego siłownika.
Rys. 2.1 Uproszczony schemat budowy siłownika hydraulicznego
Oznaczenia:
· x – położenie tłoka,
· p – ciśnienie płynu hydraulicznego,
· A – pole powierzchni roboczej tłoka,
· m – masa tłoka,
· b – współczynnik tarcia dynamicznego,
· k – współczynnik sprężystości,
· g – wektor grawitacji.
Działanie takiego siłownika opiera się głównie na założeniu, iż medium jakim jest płyn hydrauliczny, jest nieściśliwe, ciśnienie w wężu doprowadzającym płyn do cylindra oraz w samym cylindrze jest takie samo. Zmieniając więc ciśnienie p możemy regulować siłę, jaka działa na tłok, o powierzchni roboczej A i masie m, a co za tym idzie także jego położenie. Jako, że jest to siłownik jednostronnego działania, to ruch roboczy wykonywany jest tylko w jednym kierunku. Sprężyna wykorzystywana jest po to, aby po wykonaniu posuwu tłok wrócił do pozycji początkowej, praca ta może jednak być wykonana także przez obciążenie siłownika. Dodatkowo w modelu uwzględniono tarcie między tłokiem, a cylindrem, które występuje podczas działania siłownika.
3. Opis sygnałów
Do opisu sygnałów, jakie występują w układzie regulacji automatycznej siłownika hydraulicznego, posłużę się rysunkiem Rys. 3.1.
Rys. 3.1 Sygnały występujące w układzie regulacji automatycznej
Gdzie:
· w(t) to wartość zadana, czyli oczekiwana wartość wyjścia po zakończeniu regulacji. W przypadku naszego obiektu będzie to więc zadana pozycja tłoka,
· e(t) to uchyb regulacji, czyli różnica między wartością zadaną, a wyjściem układu,
· u(t) to sygnał sterowania, który pozwoli sterować obiektem za pomocą elementu wykonawczego,
· u*(t) to wymuszenie, czyli sygnał wchodzący na wejście obiektu. Dla siłownika jest to więc ciśnienie wejściowe,
· y(t) to wyjście układu, czyli aktualne położenie tłoka, które wykorzystywane jest do obliczenia uchybu
· z(t) to zakłócenia działające na obiekt, W przypadku siłownika mogą one wynikać np. z niedoskonałości sprężyny, niedokładnego wykonania tłoka lub cylindra (zmieniający się współczynnik b). Także dodatkowe obciążenie tłoka jest zakłóceniem.
Sygnały jakie można łatwo zmierzyć w tym układzie to: ciśnienie płynu hydraulicznego oraz pozycja tłoka.
4. Równania różniczkowe i ich linearyzacja, transmitancja operatorowa
Do zamodelowania obiektu równaniami różniczkowymi postanowiłem skorzystać z równania Lagrange’a II rodzaju. W ten sposób otrzymałem równanie w następującej postaci:
f=mx+bx+kx-Ap+mg
Po zlinearyzowaniu w punkcie pracy i korzystając z transformaty Laplace’a otrzymałem transmitancję operatorową w następującej postaci:
Gs=Akmks2+bks+1
Transmitancja ta wskazuje na fakt, iż do czynienia mamy z obiektem inercyjnym II rzędu, a w szczególności (dla odpowiednio dobranych parametrów) z członem oscylacyjnym.
Na podstawie materiałów znalezionych w Internecie przyjąłem parametry jako: A = 0,01m2, m = 1 kg, b = 0,3 kg/s2. Nie mogłem natomiast znaleźć żadnych informacji na temat stałych sprężyn używanych do konstrukcji takich siłowników, dlatego przyjąłem ją arbitralnie jako k = 100 N/m.
Dla takich parametrów transmitancja przyjmuje postać :
Gs=0,00010,01s2+0,003s+1
Odpowiedź skokową obiektu przedstawia rysunek Rys. 4.1
Rys. 4.1 Odpowiedź skokowa siłownika hydraulicznego
Analizując transmitancję operatorową oraz odpowiedź skokową obiektu można zauważyć iż mamy do czynienia z obiektem oscylacyjnym.
Następnie transmitancja została zdyskretyzowana metodą Tustina.
Na podstawie transmitancji dyskretnej wyznaczono współczynniki wielomianów modelu ARMA, których szuka się w dalszej części projektu i wynoszą:
θ=[-1,987 0,997 0,000000249 0,000000498 0,000000249]T
Rys. 4.2 Porównanie odpowiedzi skokowych transmitancji ciągłej (kolor żółty) i dyskretnej (kolor fioletowy)
5. Schemat układu regulacji
W zastosowaniach przemysłowych zadanie regulacji automatycznej jest bardzo istotne. Często ważne jest, aby wyjście osiągnęło wartość zadaną możliwie szybko, w innych zadaniach krytyczna jest minimalizacja przeregulowań. Aby każde zadanie było wykonane dobrze koniczne jest odpowiednie sterowanie obiektem. Na rysunku Rys. 5.1 przedstawiony jest schemat blokowy układu regulacji zamodelowanego w pakiecie Simulink.
Rys. 5.1 Układ sterowania siłownikiem hydraulicznym
Wartość zadana w powyższym układzie to skok, o wartości 0,1m. Sygnał ten wchodzi na węzeł sumacyjny, razem z sygnałem wyjściowym (ujemne sprzężenie zwrotne). Tak otrzymany uchyb wchodzi na wejście regulatora PID, który został zestrojony automatycznie przy pomocy Matlaba. Wyjście regulatora wchodzi na blok nasycenia, ponieważ w rzeczywistości nie jesteśmy w stanie generować dowolnie dużych sygnałów sterujących. Sygnał sterujący wchodzi na wejście siłownika, natomiast wyjście tak jak pisałem wcześniej zamyka pętlę sprzężenia zwrotnego. Rysunek Rys. 5.2 przedstawia przykładowy wynik zadania regulacji.
Rys. 5.2 Realizacja zadania regulacji automatycznej (kolor żółty - wartość zadana, kolor fioletowy - sygnał wyjściowy)
6. Dobór i pozyskiwanie sygnałów do identyfikacji i walidacji modelu
Sygnały potrzebne do identyfikacji i walidacji modelu w dalszej części sprawozdania zostały wygenerowane w sposób, którego ideę przedstawia rysunek Rys. 6.1, czyli na wejście obiektu podany został szum biały o ograniczonej energii, i został on wyprowadzony do przestrzeni roboczej Matlaba wraz z sygnałem wyjściowym.
Rys. 6.1 Model układu użytego do pozyskania sygnałów wejścia i wyjścia obiektu
Rys. 6.2 Przykładowe sygnały uzyskane przy pomocy układu z Rys. 6.1 (kolor fioletowy – wejście, kolor żółty - wyjście)
Warto zauważyć, że tak wygenerowane sygnały mogą posłużyć zarówno do wyznaczenia parametrów modelu obiektu, jak i jego późniejszej walidacji. Wystarczy tylko podzielić wektory na pół, wtedy jedna para sygnałów posłuży do identyfikacji obiektu, a druga do jego sprawdzenia.
7. Identyfikacja przy pomocy System Identification Tool
Program Matlab umożliwia szybką i przyjazną użytkownikowi identyfikację obiektów, właśnie dzięki pakietowi System Identification Tool. Wystarczy zaimportować dane (sygnały wejściowe i wyjściowe) do pakietu, następnie na ich podstawie można wygenerować różne modele, o różnych rzędach. Później wystarczy porównać ich odpowiedzi skokowe, dzięki parametrowi Best Fits. Zawsze warto także zbadać stabilność modelu (poprzez sprawdzenie rozkładu zer i biegunów względem okręgu jednostkowego na płaszczyźnie Gaussa) . Rysunek Rys. 7.1 przedstawia proces wyboru kilka modeli ARMA oraz ARMAX, różnych stopni.
Rys. 7.1 Zrzut okna pakietu System Identification Tool, podczas wyboru modeli
Po porównaniu odpowiedzi skokowych okazało się, iż model ARX441 najdokładniej odwzorowuje siłownik hydrauliczny, pokazuje to Rys. 7.2 (posiada najwyższy parametr Best Fits).
Rys. 7.2 Odpowiedzi skokowe identyfikowanego modelu oraz modeli otrzymanych podczas identyfikacji
Rys. 7.3 Zera i bieguny modelu ARX441
Rys. 7.4 Korelacja wejścia i wyjścia modelu ARX441
Rysunki Rys.7.3 oraz Rys.7.4 są potwierdzeniem, iż identyfikacja dała zadowalające rezultaty, pod względem „logicznej” poprawności modelu, tzn. model ten jest stabilny, a duży współczynnik korelacji w zerze mówi o liniowej zależności wejścia i wyjścia. Wzórtak otrzymanego modelu przedstawia rysunek Rys.7.5.
Rys.7.5 Wzór otrzymanego modelu
8. Identyfikacja metodą najmniejszych kwadratów
Metoda LS jest podstawową i często wykorzystywaną metodą identyfikacji typu offline, co oznacza iż identyfikacji nie przeprowadza się na bieżąco, ale najpierw zapisuje się kompletne wektory danych i dopiero później przepuszcza się je przez algorytm. Po podaniu danych do algorytmu, który napisany został podczas zajęć laboratoryjnych otrzymałem następujący wynik:
θ=[-1,9875 0,9974 0,000000505 0,0000002225]T
Jak widać współczynniki te są bardzo podobne do tych otrzymanych z transmitancji dyskretnej.
9. Identyfikacja rekursywną metodą najmniejszych kwadratów
Metoda RLS w przeciwieństwie do metody najmniejszych kwadratów jest metodą online, co oznacza, iż obiekt może być identyfikowany na bieżąco (na podstawie aktualnych i poprzednich sygnałów). Podczas zajęć poznaliśmy ten algorytm i uważam, że jest on bardzo ciekawy, gdyż podczas swojego działania uczy się, co przypomina trochę proces uczenie się sztucznej sieci neuronowej. Wynik działania algorytmu:
θ=[0,1 0,1 0,0004 0,001 ]T
Jak widać otrzymany wektor znacząco różni się od wzorcowego. Możliwe, iż identyfikacja nie powiodła się lub otrzymaliśmy zupełnie inny obiekt, o podobnym zachowaniu. Sprawa zostanie wyjaśniona w następnym punkcie.
10. Walidacja modeli oraz ocena identyfikacji
Walidacja została przeprowadzona przy pomocy pakietu Simulink, gdzie wszystkie otrzymane transmitancje zostały poddane działaniu szumu białego, a ich odpowiedzi porównane do odpowiedzi układu wzorcowego. ...
bosmin