RozniceSkoncz01 chyba wyklad 4.pdf

(144 KB) Pobierz
Metoda ró»nic sko«czonych
Bardzo cz¦sto zagadnienie zyczne jest modelowane z u»yciem
równa« ró»niczkowych.
Trudno±ci wyst¦puj¡ce przy rozwi¡zywaniu równa«
ró»niczkowych
Równanie jest nieliniowe i nie mo»na go z ró»nych
powodów zlinearyzowa¢,
Rozpatrywany obszar jest skomplikowany,
Mieszane warunki brzegowe,
Warunki brzegowe zale»ne od czasu,
Rozpatrywane medium jest niejednorodne i/lub
anizotropowe.
T.Lekszycki
Metoda ró»ni¢ sko«czonych zostaªa pierwszy raz
zaproponowana w latach dwudziestych poprzedniego wieku do
rozwi¡zanie równa« z hydrodynamiki.
Jest pierwowzorem metody elementów sko«czonych rozwijanej
znacznie pó¹niej, po pojawieniu si¦ komputerów.
Polega na zast¡pieniu równania ró»niczkowego przez równanie
ró»nicowe oraz na podziale rozpatrywanego obszaru na
podobszary zdeniowane przez w¦zªy w których wyznacza si¦
przybli»one rozwi¡zanie.
T.Lekszycki
Rozwa»my funkcj¦
f
(
x
)
. Mo»emy aproksymowa¢ jej pochodn¡
na trzy sposoby,
ró»niczkowanie "w przód"
ró»niczkowanie "w tyª"
ró»niczkowanie " centralne"
T.Lekszycki
Wykorzystamy rozwini¦cie funkcji w szereg Taylora,
f
(
x
0
+ ∆
x
) =
f
(
x
0
) + ∆
xf
(
x
0
) +
+
1
(∆
x
)
3
f
(
x
0
) +
O
(∆
x
)
4
3
!
1
(∆
x
)
2
f
(
x
0
)
2
!
(1)
f
(
x
0
−
∆
x
) =
f
(
x
0
)
−
∆
xf
(
x
0
) +
−
1
(∆
x
)
3
f
(
x
0
) +
O
(∆
x
)
4
3
!
1
(∆
x
)
2
f
(
x
0
)
2
!
(2)
Po odj¦ciu stronami równa« (1) i (2) otrzymamy
f
(
x
0
+ ∆
x
)
−
f
(
x
0
−
∆
x
) =
2
∆
xf
(
x
0
) +
O
(∆
x
)
3
,
(3)
T.Lekszycki
i po przeksztaªceniu otrzymujemy pochodn¡ centraln¡
f
(
x
0
) =
f
(
x
0
+ ∆
x
)
−
f
(
x
0
−
∆
x
)
+
O
(∆
x
)
2
2
∆
x
(4)
Pochodne "w przód"i "w tyª" otrzymamy z prostego
przeksztaªcenia równa« (1) i (2).
Zauwa»my »e bª¡d w (6) jest rz¦du
O
(∆
x
)
2
za± w
pochodnych w przód i w tyª - rz¦du
O
(∆
x
)
T.Lekszycki

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin