PODMA02-03a.pdf

(342 KB) Pobierz
Funkcjonały a rachunek wariacyjny
Przykłady funkcjonałów
Przykład 1
Długo´ ci wszystkich krzywych prostowalnych na płaszczy´ nie
s
z
dla
x
∈<
a, b
>.
Przykład 2
´
Współrz˛
edna
x
lub
y
srodka cie˙ ko´ ci krzywej prostowalnej na
˛z s
płaszczy´ nie w zadanym obszarze
x
∈<
a, b
>.
z
Przykład 3
Pole powierzchni powstałe z obrotu krzywej wokół osi OX
rozpietej miedzy dwoma punktami.
˛
˛
Rachunek wariacyjny - poszukiwanie ekstermum funkcjonału.
T.Lekszycki - Podstawy Modelowania Matematycznego
Wybrane elementy rachunku wariacyjnego
Zajmiemy sie poszukiwaniem minimum (lub maksimum)
˛
funkcjonałów.
Funkcjonały całkowe
u(x)
- funkcja okre´ lona w przedziale
(a,
b).
s
Szczególna klasa fnkcjonałów
b
J[u]
=
a
F
(x,
u, u
)dx
Przykład
b
J
=
a
[u(x)]
2
dx
T.Lekszycki - Podstawy Modelowania Matematycznego
Definicja
´
Je´ li
R
przedstawia przestrzen liniowa unormowana oraz
s
˛
˛
ka˙ demu elementowi
h(x)
z tej przestrzeni odpowiada liczba
z
φ[h(x)],
czyli dany jest funkcjonał
φ[h(x)].
Ten funkcjonał
nazywa sie funkcjonałem liniowym je´ li dla dowolnych
h
1
i
h
2
z
˛
s
przestrzeni
R
jest on
ciały
˛
spełnia warunek
φ[h
1
+
h
2
] =
φ[h
1
] +
φ[h
2
]
T.Lekszycki - Podstawy Modelowania Matematycznego
I Lemat rachunku wariacyjnego
Je´ li funkcja
ψ(x)
jest funkcja ciagła w przedziale
a
≤
x
≤
b,
s
˛ ˛ ˛
oraz całka
b
ψ(x)η(x)dx
=
0
a
dla wszystkich (dowolnych) funkcji
η(a)
=
η(b)
=
0 ciagłych ze
˛
swoimi pochodnymi to
ψ(x)
≡
0
w przedziale
a
<
x
<
b.
T.Lekszycki - Podstawy Modelowania Matematycznego
Ró˙ niczka (wariacja) funkcjonału
z
Rozpatrzymy funkcjonał
J[y
(x)]
oraz jego przyrost
∆J =
J[y
(x) +
h(x)]
−
J[y
(x)]
Wariacja funkcjonału
Ró˙ niczka (wariacja) funkcjonału J nazywamy liniowa cz˛ sc
z
˛
˛
˛ e´ ´
przyrostu
∆J,
czyli funkcjonał liniowy
φ[h(x)],
ró˙ niacy sie od
z ˛
˛
´
∆J
o wielko´ c nieskonczenie mała rz˛
s´
˛ edu wy˙ szego od
z
pierwszego w stosunku do
||h||,
czyli
∆J[h(x)] =
φ[h(x)]
+
α||h||
dla
α
→
0 gdy
||h|| →
0
T.Lekszycki - Podstawy Modelowania Matematycznego

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin