AF2011-przyklad(2).pdf
(
65 KB
)
Pobierz
Przykładowepytaniatestowedocz¦scipisemnejegzaminuz
analizyfunkcjonalnej,16czerwca2011r.
Pytanie1.
W ka»dej o±rodkowej przestrzeni Hilberta
H
(nad
C
) za-
chodz¡ nast¦puj¡ce twierdzenia:
(a) Ka»dy funkcjonał liniowy na
H
jest ci¡gły.
(b)
k
x
k
2
P
n
=1
|h
x,e
n
i|
2
dla dow. układu ortonormalnego
{
e
n
}
n
1
w
H
i
dow.
x
2
H
.
(c)
h
x,y
i
=
P
n
=1
h
x,e
n
ih
e
n
,y
i
dla dowolnego układu ortonormalnego zupeł-
nego
{
e
n
}
n
1
w
H
i dowolnych
x,y
2
H
.
(d)
|h
x,y
i|
2
¬k
x
k·k
y
k
dla dow.
x,y
2
H
.
(e) Przestrze«
H
jest izomorficzna (izomorfizm przestrzeni Hilberta) z prze-
strzeni¡
l
2
, o ile dim
C
H
=
1
.
Pytanie2.
Niech
H
b¦dzie o±rodkow¡ przestrzeni¡ Hilberta (nad
C
) i
niech
M
H
b¦dzie domkni¦t¡ podprzestrzeni¡. Oznaczmy przez
P
M
rzut
ortogonalny na
M
. Wówczas:
(a)
|h
P
M
x,y
i|¬k
x
k·k
y
k
dla dow.
x,y
2
H
;
(b)
P
M
:
H
!
H
jest odwzorowaniem liniowym;
(c) obraz
P
M
(
H
) jest g¦sty w
H
;
(d) je±li
x
?
M
, to
P
M
x
=
x
;
(e)
P
2
M
x
=
x
dla dow.
x
2
X
.
Pytanie3.
Niech
X
b¦dzie przestrzeni¡ Banacha nad
C
. Wówczas:
(a)
X
jest refleksywna, o ile
X
jest przestrzeni¡ Hilberta o niesko«czonym
wymiarze.
(b)
X
jest refleksywna, o ile dla ka»dej podprzestrzeni
X
0
X
oraz
f
2
X
0
istnieje funkcjonał
F
:
X
!
C
liniowy taki, »e
F
|
X
0
=
f
oraz
k
F
k
=
k
f
k
.
(c)
X
jest refleksywna, o ile dla ka»dego funkcjonału
F
:
X
!
C
liniowego
i ci¡głego istnieje punkt
x
0
2
X
taki, »e
F
(
f
) =
f
(
x
0
) dla dow.
f
2
X
.
(d)
X
jest refleksywna, o ile
X
jest o±rodkowa.
(e)
X
jest refleksywna, o ile dim
C
X
<
+
1
.
Pytanie4.
Niech
X
i
Y
b¦d¡ przestrzeniami Banacha. Załó»my, »e
A
:
X
!
Y
jest operatorem liniowym i ci¡głym. Wówczas:
(a) Je±li operator
A
jest dodatkowo odwracalny, to równie» operator
A
−
1
jest ci¡gły.
(b)
A
jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dow.
r >
0
mamy
A
(
B
(0
,r
))
A
(
B
(0
,
2
r
)).
1
(c)
A
jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy
1
[
Y
=
A
(
B
(0
,kr
)) dla dow.
r >
0
.
k
=1
(d) Je±li dodatkowo
X
=
Y
i
A
jest surjekcj¡, to operator
A
n
jest otwarty
dla dow.
n
2.
(e)
A
jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy
A
jest surjek-
cj¡.
Pytanie5.
Niech
X
b¦dzie przestrzeni¡ Banacha nad
R
,
A,B
6
=
;
,
A
\
B
=
;
. Wówczas:
(a) Je±li
B
=
L
(
A
), gdzie
A
jest wypukły i zwarty w słabej topologii oraz
L
:
X
!
X
jest liniowy i ci¡gły, to
A
i
B
mo»na rozdzieli¢.
(b) Je±li
A
jest podprzestrzeni¡ domkni¦t¡, a
B
jest podzbiorem wypukłym
i zwartym, to
A
i
B
mo»na rozdzieli¢.
(c) Je±li zbiory
A,B
s¡ zwarte i wypukłe, to mo»na je rozdzieli¢.
(d) Je±li
A
jest podprzestrzeni¡ g¦st¡ oraz
B
=
{
x
0
}
, to istnieje
f
2
X
oraz
2
R
takie, »e
f
(
x
)
< < f
(
x
0
)
dla dow.
x
2
A
.
(e) Je±li zbiory
A,B
s¡ zwarte w słabej topologii i wypukłe, to mo»na je
rozdzieli¢.
f
(
n
),
Pytanie6.
Niech
f
2
L
1
(
T
). Wówczas współczynniki Fouriera
n
2
Z
maj¡ nast¦puj¡ce własno±ci:
(a)
|
f
(0)
|
=
k
f
k
L
1
;
(b)
ci¡g
{
f
(
n
)
}
n
1
jest ci¡giem zbie»nym;
(c)
f
(
−
n
) =
−
f
(
n
) dla dow.
n
2
Z
;
(d)
k
f
k
L
1
¬|
f
(
n
)
|
dla dow.
n
2
Z
;
(e) (
f
(
n
))
n
2
Z
2
l
2
(
Z
).
Pytanie7.
Niech
f,g
2
L
1
(
T
). Zaznaczy¢ prawdziwe własno±ci operacji
splatania:
(a)
f
g
2
C
(
T
), o ile
f
2
C
(
T
);
(b)
f
1 =
f
;
(c)
f
0 = 0;
(d) (
f
g
)ˆ(0) =
1
4
2
R
T
f
(
x
)
dx
·
R
T
g
(
x
)
dx
;
(e)
f
g
=
g
f
.
2
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:
cetds2000(2).pdf
(48943 KB)
spectralENCYCLOPEDIA(2).pdf
(457 KB)
times23(2).pdf
(3022 KB)
AFskrypt(3).pdf
(756 KB)
Teoria_spektralna_dla_ergodykow(3).pdf
(753 KB)
Inne foldery tego chomika:
06-DLOGLI0 Podstawy logiki i teorii mnogości (geminus)
httpalgebra.rezolwenta.eu.orgMaterialy
httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr
httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php
httpwww.math.uni.wroc.pl~newelskidydaktykalogikaBlogikaB.html
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin