matma_w_mech_kwantowej.doc

(921 KB) Pobierz

ROZDZIAŁ 1

ROZDZIAŁ 2

__________________________________________________________________________

PODSTAWY MATEMATYCZNE KWANTOWEJ TEORII
MAGNETYCZNEGO REZONANSU

2.1. Funkcje stanu i operatory

Właściwości obiektów w mechanice kwantowej opisuje się za pomocą funkcji falowych albo funkcji stanu. Możliwe są jednak takie stany, których nie możemy opisać za pomocą funkcji falowych. Takie stany można opisać za pomocą macierzy gęstości.

Każdej wielkości fizycznej (pęd, położenie, moment pędu, energia itp.) w mechanice kwantowej jest przyporządkowany odpowiedni operator. Przez operator rozumiemy odwzorowanie, które przekształca dowolną funkcję falową w odpowiedniej przestrzeni Hilberta w inną funkcję tej samej przestrzeni Hilberta

. (2.1)

(Przestrzeń Hilberta jest abstrakcyjną przestrzenią o skończonej lub nieskończonej liczbie wymiarów zawierającą wszystkie możliwe stany mikroobiektu).

Postuluje się, że relacje zachodzące między wielkościami fizycznymi w mechanice klasycznej, w mechanice kwantowej powinny być zastąpione tego samego typu relacjami między operatorami odpowiadającymi tym wielkościom fizycznym. Za pomocą tej zasady odpowiedniości można otrzymać podstawowe operatory mechaniki kwantowej: operator położenia i operator pędu

. (2.2)

2.1.1. Funkcje własne i wartości własne operatorów

Jeżeli działanie operatora na funkcję sprowadza się jedynie do pomnożenia tej funkcji przez jakąś liczbę

, (2.3)

to funkcję taką nazywa się funkcją własną operatora , a liczbę - wartością własną operatora , odpowiadającą funkcji własnej .

Może się zdarzyć, że jednej wartości własnej odpowiada więcej niż jedna funkcja własna. Mówimy wtedy, że taki własny stan jest zwyrodniały (zdegenerowany).

2.1.2. Hermitowskie operatory

W mechanice kwantowej używa się zwykle tylko operatorów hermitowskich. Operator nazywamy hermitowskim, jeżeli dla dwóch dowolnych funkcji i , zachodzi

, (2.4)

przy czym całkowanie odbywa się po całej przestrzeni zmiennej (to może być i niejedna zmienna); gwiazdka w (2.4) oznacza sprzężenie zespolone.

Wyjątkowe znaczenie operatorów hermitowskich, którymi posługujemy się w mechanice kwantowej, polega na tym, że wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste

, (2.5)

zaś funkcje własne należące do różnych wartości własnych są do siebie ortogonalne

(dla ), (2.6)

a zbiór wszystkich funkcji własnych tworzy układ zupełny funkcji, tj. dowolna funkcja zależna od tych samych zmiennych może być przedstawiona w postaci

, (2.7)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie wartości .

W mechanice kwantowej zakłada się, że jeżeli badany stan układu jest jednym ze stanów własnych operatora przyporządkowanego odpowiedniej wielkości fizycznej , to w wyniku obserwacji tej wielkości fizycznej otrzymujemy się zawsze wartość własną odpowiadającą stanowi własnemu . Ponieważ wyniki pomiaru są zawsze wartościami rzeczywistymi, to w tym miejscu staje się jasne, dlaczego operatory, którymi posługujemy się w mechanice kwantowej są operatorami hermitowskimi.

Jeżeli funkcja stanu nie pokrywa się z żadną z funkcji własnych operatora , to w tym stanie wielkość fizyczna nie ma określonej wartości. Przy różnych pomiarach wielkości w tym stanie będziemy otrzymywać wyłącznie poszczególne wartości własne operatora . Powtarzając wiele razy te pomiary, możemy określić wartość średnią tej wielkości w danym stanie . Zakłada się, że ta wartość średnia powinna się pokrywać z wartością określoną przez

. (2.8)

Dla celów praktycznych funkcje własne operatorów hermitowskich są zwykle unormowane

. (2.9)

Korzystając z faktu, że funkcję można przedstawić w postaci kombinacji liniowej (2.7) funkcji własnych i wykorzystując równania (2.3), (2.6) i (2.9) znajdujemy

, . (2.10)

Prawdopodobieństwo zatem tego, że przy pomiarze wielkości fizycznej w stanie otrzymamy konkretną wartość własną , jest równe , przy czym, jak wynika z (2.7)

. (2.11)

2.1.3. „Ket” i „bra” stany

W nowszej literaturze funkcje falowe i wartości oczekiwane są przedstawiane w sposób wprowadzony przez P.A.M.Diraca. Notacja Diraca polega na zapisaniu [2.1]

. (2.12)

Przejście od zwykłej notacji do notacji Diraca polega na zastąpieniu

- stan – ket

- stan – bra (2.13)

Nazwy stanów „bra” i „ket” zostały wprowadzone przez angielskiego fizyka P.A.M.Diraca, który stosując opis słowny żartobliwie podzielił słowo „bracket” (w jęz. polskim – „nawias”) na „bra” i „ket”.

2.1.4. Macierze operatorów

Innym powszechnie przyjętym, skróconym zapisem jest oznaczenie wielkości (2.12) symbolem

. (2.14)

Jeśli wskaźniki i przyjmują wartości od 1 do N, możemy zapisać wielkości w postaci macierzy

. (2.15)

Wielkości nazywamy więc elementami macierzystymi.

Stosując notację Diraca równanie (2.4), definiujące operator hermitowski, możemy zapisać w postaci

. (2.16)

Jeżeli , , to dla operatora hermitowskiego, uwzględniając (2.12) i (2.14), otrzymujemy

. (2.17)

Macierz , dla której słuszne są związki (2.17) nazywamy macierzą hermitowską.

2.1.5. Rzutowe operatory

Zgodnie z (2.7) i (2.11) dowolna funkcja ket może być zapisana w postaci

(2.18)

albo

. (2.19)

Ponieważ, jak wynika z (2.19)

, (2.20)

to możemy rozpatrywać symbol jako operator, który przekształca dowolny wektor w rzut tego wektora na stan . Operator nosi nazwę operatora rzutowego na stan [2.4,2.5].

Dla wektorów bra równanie (2.19) przyjmuje postać

. (2.21)

Sumując (2.20) po i uwzględniając (2.18) znajdujemy, że

. (2.22)

We wzorze (2.22) operator jest operatorem jednostkowym. Nazwa tego operatora pochodzi z tego, że jak widać ze wzorów (2.19) i (2.21), dla dowolnych ket i bra funkcji i

, , (2.23)

a więc

, (2.24)

gdzie jest dowolnym operatorem.

2.1.6. Macierz iloczynu operatorów

Znajdujemy elementy macierzowe operatora , który jest równy iloczynowi dwu operatorów

. (2.25)

Uwzględniając tożsamość (2.24) i (2.22), operator możemy zapisać w postaci

skąd wynika

. (2.26)

2.1.7. Ślad macierzy operatora

Śladem macierzy nazywana jest suma diagonalnych elementów macierzy. Operację wyznaczania śladu oznacza się symbolem , a więc ślad macierzy (2.15) operatora jest równy

. (2.27)

Dla śladu macierzy operatora istnieje kilka ważnych twierdzeń [2.1]. Jedno z nich brzmi: ślad macierzy operatora nie zależy od układu funkcji , dla którego obliczane są macierzowe elementy . To znaczy, że jeśli mamy dwa układy zupełne funkcji zależnych od tych samych zmiennych : i (na przykład, funkcje są własnymi funkcjami operatora , a funkcje są własnymi funkcjami operatora ), to

. (2.28)

Drugie twierdzenie dotyczy śladu macierzy iloczynu operatorów: ślad macierzy iloczynu dwu operatorów jest równy śladowi macierzy iloczynu operatorów , tj.

. (2.29)

Jeżeli operator jest równy , to łatwo można pokazać, stosując (2.29), że

. (2.30)

2.1.8. Związki komunikacyjne

Związki komunikacyjne (przemienności) odgrywają ważną rolę w kwantowej teorii MRJ. Komutatorem dwu operatorów i w mechanice kwantowej nazywany jest operator , który jest równy