Równania rózniczkowe czastkowe. Laplace. Rozwiązania.pdf

(2037 KB) Pobierz
Równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym
Zagadnienie początkowe (cząstkowe)
Policzmy pochodną funkcji
wzdłuż pewnej krzywej danej równaniami
porównując to z
dostajemy:
Dostajemy zależności
Parametry
dobieramy więc tak, by zachodziło
. Warunek
i
jest zadany na prostej
, stąd:
.
Zastosowanie tranformaty Laplace'a
Będziemy korzystać przede wszystkim :
1)
z tablic :
https://pl.wikipedia.org/wiki/Transformacja_Laplace%E2%80%99a#Transformaty_Laplace.E2.80.99a
_cz.C4.99.C5.9Bciej_spotykanych_funkcji
2)
ze wzoru na transformatę pochodnej:
Cytuj:
3)
z twierdzenia Borela:
Cytuj:
Jeśli
,
oraz
i
są zbieżne bezwzględnie dla
, to
gdzie
Zadanie I
Znaleźć funkcję
, która spełnia równanie:
Z warunkiem początkowym:
Rozwiązanie:
Niech
Transformując obie strony i korzystając z twierdzenia Borela otrzymujemy równanie:
Wyznaczamy
:
Znowu korzystając z tablic liczymy transformatę odwrotną tej funkcji otrzymując rozwiązanie:
Zadanie II
Znaleźć funkcję
, która spełnia równanie:
(nie zadajemy warunku początkowego zatem rozwiązaniem będzie rodzina funkcji, a nie jedne konkretna)
Rozwiązanie:
Niech
Transformując obie strony i korzystając ze wzoru :
Cytuj:
otrzymujemy równanie:
Wyznaczamy
:
Liczymy tranformatę odwrotną:
czyli to samo co by nam wyszło gdybyśmy liczyli całkując obie strony.
Zadanie III
Znaleźć funkcję
, która spełnia równanie:
Z warunkami początkowymi:
Rozwiązanie:
Niech
Transformując obie strony i korzystając ze wzorów :
Cytuj:
otrzymujemy równanie:
Stosujemy rozkład na ułamki proste:
(stałe już każdy może obie wyliczyć)
I odwracamy transformatę:
Skorzystaliśmy ze wzoru na przysunięcie transformaty:
Cytuj:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin