Fabijańczyk A - Mathematica w zadaniach analizy matematycznej funkcji jednej zmiennej [2011].pdf

(4460 KB) Pobierz
Andrzej Fabijańczyk
MATHEMATICA
W ZADANIACH
ANALIZY MATEMATYCZNEJ
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Teoria i zadania przykładowe
WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU ŁÓDZKIEGO
ŁÓDŹ 2011
Spis treści
Wstęp ...................................................................................................... ........................................
5
1. Wiadomości wstępne
1.1. Podstawowe zbiory liczbowe .......................................................... ..................................................... 7
1.2. Pojęcie funkcji .......................................................... ............................................. ............................ 16
1.3. Ciągi .................................................................................................................................................... 42
2. Granice i ciągłość
2.1. Granica ciągu........... ........... ............. ............. ............. ............. .........................................................55
2.2. Granica funkcji......................................................................................................................................73
2.3. Ciągłość ................................................................................................................................................87
2.4. Asymptoty.............................................................................................................................................96
3. Rachunek różniczkowy
3.1. Pojęcie pochodnej ...............................................................................................................................105
3.2. Zastosowania pochodnej .....................................................................................................................132
3.3. Pochodne wyższego rzędu i ich zastosowania....................................................................................152
3.4. Badanie przebiegu zmienności funkcji ...............................................................................................188
Literatura .....................................................................................................................................219
Indeks ..........................................................................................................................................221
5
Wstęp
Wśród przedmiotów nazywanych potocznie matematyką wyższą kluczową pozycję zajmuje analiza
matematyczna. Ma ona znaczenie fundamentalne dla szeregu szczegółowych, bardziej specjalistycznych,
dyscyplin matematycznych, jak również jest narzędziem wykorzystywanym przez inne gałęzie nauki
i techniki.
Powszechna jest opinia, że analiza matematyczna jest przedmiotem trudnym. Faktycznie, jego pomyślne
studiowanie wymaga dobrego przygotowania z zakresu matematyki elementarnej, konieczne jest
opanowanie licznych pojęć opartych na przejściu do granicy, a do tego z kolei ważne jest wykształcenie
specyficznej wyobraźni. Najistotniejsze jest jednak to, że niezbędne jest opanowanie praktycznego
posługiwania poznawanym aparatem. Można to osiągnąć tylko przez systematyczny trening polegający na
rozwiązywaniu zadań, zarówno rachunkowych, jak i teoretycznych.
Uzasadnione jest więc powstawanie zbiorów zadań z analizy matematycznej. Prezentowany podręcznik
jest pierwszą częścią publikacji tego typu wzbogaconą zwięzłym repetytorium, w którym zgromadzone
zostały pojęcia i najważniejsze fakty dotyczące elementarnych własności funkcji i ich szczególnego
przypadku: ciągów liczbowych, pojęcia granicy i ciągłości, rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej
rzeczywistej. W przygotowywanej części drugiej znajdzie się rachunek całkowy, szeregi liczbowe i wybrane
zagadnienia teorii ciągów i szeregów funkcyjnych.
Prawie wszystkie przykłady i zadania są moją charakter autorski, do wyjątków należą głównie
„obowiązkowe” przykłady, które można znaleźć niemalże we wszystkich podręcznikach analizy
matematycznej. Z drugiej strony trudno zaprzeczyć, że konieczne było wzorowanie się na wymienionych
w literaturze zbiorach zadań, wśród których czołowe miejsce zajmują pozycje rosyjsko-języczne lub ich
tłumaczenia.
Podręcznik nie jest jednak typową publikacją w swoim rodzaju. W ostatnim czterdziestoleciu XX wieku
pojawiło się szereg programów komputerowych przeznaczonych do obliczeń matematycznych:
symbolicznych i numerycznych. Programy te często oferują dużo więcej. Mogą udostępniać m.in. języki
programowania umożliwiające konstruowanie specjalistycznych funkcji i procedur dostosowanych do
indywidualnych potrzeb użytkownika. Nie do przecenienia jest również łatwość tworzenia różnorodnych
interpretacji geometrycznych pomagających w weryfikacji hipotez matematycznych oraz pogłębiających
rozumienie rozważanych problemów. Wszystkie te cechy ma program
Mathematica
firmy Wolfram
Research, którego pierwsza wersja powstała w 1988 roku doczekała się kolejnych znaczących udoskonaleń
i dzisiaj jest uznanym na świecie produktem tego typu. O nietypowości podręcznika decyduje fakt przyjęcia
założenia, że prawie wszystkie obliczenia w przykładach i zadaniach, tych rozwiązanych przez autora, jak
i tych przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania przez czytelnika, mają być wykonane przy pomocy
komputera programem
Mathematica.
Zabranie się do nauki z podręcznikiem wymaga więc wcześniejszego opanowania wspomnianego
programu w zakresie podstawowych zasad posługiwania się nim, zastosowanego nazewnictwa i składni po-
leceń. Mimo, że
Mathematica
jest systemem bardzo rozbudowanym o rozległych możliwościach, można
z niego zacząć korzystać dysponując tylko elementarną wiedzą i sukcesywnie, w miarę zwiększających się
potrzeb, wiedzę tę uzupełniać. Umożliwia to obszerny system pomocy oraz bardzo dobry, metodycznie
przemyślany, podręcznik autorstwa Stephena Wolframa zatytułowany
„The Mathematica Book”.
Osoby, dla
których barierą jest język angielski, mogą skorzystać z pozycji [13] cytowanej literatury, choć bez
znajomości tego języka dogłębne poznanie programu
Mathematica
może być trudne. Oprócz tego w oma-
wianym zbiorze zadań znajduje się szereg informacji dotyczących niektórych, istotnych w danym
zagadnieniu komend. Informacje te mają jednak charakter uzupełniający i pojawiają się okazjonalnie.
Układ materiału zgromadzonego w poszczególnych paragrafach, za wyjątkiem ostatniego o charakterze
podsumowującym poświęconego całościowemu badaniu przebiegu zmienności funkcji, jest w zasadzie taki
sam. Najpierw wprowadzane są wszystkie pojęcia i twierdzenia dotyczącej rozważanego tematu.
Uzupełnione są one uwagami i przykładami podkreślającymi ważne subtelności o charakterze
matematycznym bądź informatycznym. Następnie rozwiązywana jest seria zadań przykładowych tak
dobranych, aby przedstawić wszechstronnie omawianą tematykę z zaakcentowaniem problemów i trudności,
z jakimi można się spotkać. Każdy paragraf zamyka zestaw zadań przeznaczonych do samodzielnego

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin