Dowody matematyczne. Zbiór zadań z rozwiązaniami. Gimnazjum. Szkoła ponadgimnazjalna.doc

Gołuchów 25.04 – 26.04.2014r.

DOWODY GEOMETRYCZNE

Zadanie 1

Uzasadnij, że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta ABC i dwusieczna kąta zewnętrznego przy tym samym wierzchołku
są prostopadłe. Pamiętaj, że kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

              C

                a              b

                                      A              B

a  - dwusieczna kąta zewnętrznego

b - dwusieczna kąta wewnętrznego

Rozwiązanie

Półproste a i b są dwusiecznymi kątów, czyli dzielą kąty na połowy. Oznaczmy miary równych kątów literami
i .

              C

                a              b

                                     A                                                      B

Ponieważ kąt zewnętrzny i wewnętrzny są kątami przyległymi, to ich suma wynosi 180O.

, czyli . Stąd wynika, że dwusieczne a i b są prostopadłe

Zadanie 2

W trapezie ABCD przedłużenia ramion AD i BC przecięły się w punkcie E (rysunek). Uzasadnij, ze kąt AEB jest kątem prostym.

                                                    E

                                            D                 C

                                                                       25o

                               115o             

                                    A                                                           B

Rozwiązanie

§         Kąt DAB jest kątem przyległym do kąta 115O, czyli jego miara wynosi 65O.

§         Kąt EDC i kąt DAB są kątami odpowiadającymi, czyli mają równe miary.

§         Kąt DCE jest kątem wierzchołkowym do kąta 25O, czyli jego miara wynosi także 25O.

§         Miary dwóch kątów utworzonego trójkąta DCE wynoszą zatem 65O i 25O, czyli trzeci kąt ma 90O
       (180O – 25O – 65O = 90O).

§         Stąd wynika , ze kąt AEB jest kątem prostym.

Zadanie 3

Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt K taki, że długości odcinków AC i CK są równe. Uzasadnij, że pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta CDK.

              K

              D

              C

              A              B             

Rozwiązanie

Na podstawie rysunku łatwo zauważyć, że odcinek h jest wysokością trójkąta ACD opuszczoną na bok AC oraz wysokością trójkąta DCK opuszczoną na przedłużenie boku CK.

Niech. Zatem .

  K

                             D                                    a

                                 h                     C

              a             

        A                        B

Zadanie 4

Na podstawie rysunku uzasadnij, że trójkąt CED jest prostokątny.

                                                           D                                    C

                                                         60O

              A                   E                 B

                                                                                                            AB CD,    AD BC

Rozwiązanie

- Ponieważ  AB CD,    AD BC, to czworokąt ABCD jest równoległobokiem, w którym miary kątów wynoszą 60O, 60O, 120O, 120O.

- Na podstawie tego, że można stwierdzić, że trójkąt AED jest równoboczny, a trójkąt EBC jest trójkątem równoramiennym o kątach 30O, 30O, 120O.

- Suma kątów AED, DEC oraz CEB wynosi 180O, czyli 60O+ +30O=180O. Stąd wynika, że = 90O, czyli trójkąt CED jest prostokątny.

Zadanie 5

W trójkącie prostokątnym ABC wykonano następujące czynności:

§         przedłużono przeciwprostokątną AB,

§         odłożono odcinki AD=AC oraz BE=BC.

              C

                           .

              D       A                         B                 E

Uzasadnij, że kąt DCE ma 135O.

Rozwiązanie

Wprowadźmy na rysunku dodatkowe oznaczenia wynikające z treści zadania. Ponieważ AD=AC oraz BE=BC,
to trójkąty DAC i BEC są równoramienne – miary kątów przy podstawie są takie same.

                                                 C

                    x       .          y

              x                                        y

              D      A                         B                   E

§         Miara kąta DAC jest równa 180O - = 180O – 2x.

      Stąd wynika, że =2x.

§         Miara kąta EBC jest równa 180O - = 180O – 2y.

      Stąd wynika, że =2y.

§         W trójkącie ABC suma kątów ostrych wynosi 90O, czyli

              += 90O. Zatem prawdziwa jest także równość 2x + 2y = 90O. Po obustronnym podzieleniu przez 2 otrzymujemy, że x + y = 45O.

§         Miara kąta DCE = x + y + 90O = 45O + 90O = 135O

Zadanie 6

Boki równoległoboku ABCD są równe a i b (a>b...